三角形ABCにおいて、余弦定理を用いてcosAの値を計算する問題です。AB=4、BC=2、CA=√3 + 1、CB=√6であることがわかっています。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いてcosAの値を計算する問題です。AB=4、BC=2、CA=√3 + 1、CB=√6であることがわかっています。

2. 解き方の手順

余弦定理より、cosAを求める式は次のようになります。

$cosA = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$

この式に与えられた値を代入します。

$cosA = \frac{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{6})^2 - 2^2}{2 \cdot (\sqrt{3}+1) \cdot \sqrt{6}}$

分子を計算します。

$(\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{6})^2 = 6$

したがって、分子は

$4 + 2\sqrt{3} + 6 - 4 = 6 + 2\sqrt{3} = 2(3 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)$

分母は

$2 \cdot (\sqrt{3}+1) \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{2} \sqrt{3}(\sqrt{3}+1)$

よって、

$cosA = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{2}}$