三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあり、3直線AP, BQ, CRは1点Tで交わっている。AR:RB = 2:1, BP:PC = t:(1-t)である。ただし、0 < t < 1である。 (1) CQ/QA を t を用いて表せ。 (2) t = 1/4 のとき、面積比 △ABC : △BRT を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあり、3直線AP, BQ, CRは1点Tで交わっている。AR:RB = 2:1, BP:PC = t:(1-t)である。ただし、0 < t < 1である。

(1) CQ/QA を t を用いて表せ。

(2) t = 1/4 のとき、面積比 △ABC : △BRT を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) メネラウスの定理を三角形ABCと直線CRに適用すると、

$$(AR/RB) * (BC/CP) * (PQ/QA) = 1$$

AR/RB = 2/1, BP/PC = t/(1-t) より、BC/CP = (BP+PC)/PC = (t + 1 - t)/(1 - t) = 1/(1 - t)

したがって、

$$(2/1) * (1/(1 - t)) * (CQ/QA) = 1$$

$$CQ/QA = (1 - t)/2$$

(2) チェバの定理より、

$$(AR/RB) * (BP/PC) * (CQ/QA) = 1$$

ここで、t = 1/4 のとき、CQ/QA = (1 - 1/4)/2 = (3/4)/2 = 3/8

したがって、

AR/RB = 2/1, BP/PC = (1/4)/(1 - 1/4) = (1/4)/(3/4) = 1/3, CQ/QA = 3/8

△ABCの面積をSとする。

まず、△ABRの面積を求める。AR/AB = AR/(AR+RB) = 2/(2+1) = 2/3

よって、△ABR = (2/3)S

次に、△BRTの面積を求めるために、BT/TQを求める。

メネラウスの定理を△ABQと直線CRに適用すると、

$$(AR/RB) * (BT/TQ) * (QC/CA) = 1$$

AR/RB = 2/1, QC/CA = QC/(QC+QA) = (3/8)/(3/8 + 1) = (3/8)/(11/8) = 3/11

$$(2/1) * (BT/TQ) * (3/11) = 1$$

$$BT/TQ = 11/6$$

よって、BT/BQ = BT/(BT+TQ) = (11/6)/(11/6 + 1) = (11/6)/(17/6) = 11/17

したがって、△BRT = (BT/BQ) * △ABR = (11/17) * (2/3)S = (22/51)S

△ABC : △BRT = S : (22/51)S = 51 : 22

3. 最終的な答え

(1) CQ/QA = (1-t)/2

(2) △ABC : △BRT = 51 : 22