問題25：次の円の方程式を求める。 (1) 中心が点$(-2, 1)$で点$(1, -3)$を通る円。 (2) 中心が点$(3, 4)$で$x$軸に接する円。 問題26：次の方程式がどのような図形を表すか。 (1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$ (2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$

1. 問題の内容

問題25：次の円の方程式を求める。

(1) 中心が点$(-2, 1)$で点$(1, -3)$を通る円。

(2) 中心が点$(3, 4)$で$x$軸に接する円。

問題26：次の方程式がどのような図形を表すか。

(1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$

2. 解き方の手順

問題25(1):

円の方程式は、中心が$(a, b)$、半径が$r$のとき、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$で表されます。

中心が$(-2, 1)$なので、方程式は$(x+2)^2 + (y-1)^2 = r^2$となります。

この円が点$(1, -3)$を通るので、この点を代入して$r^2$を求めます。

$(1+2)^2 + (-3-1)^2 = r^2$

$3^2 + (-4)^2 = r^2$

$9 + 16 = r^2$

$r^2 = 25$

よって、円の方程式は$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 25$となります。

問題25(2):

中心が$(3, 4)$なので、円の方程式は$(x-3)^2 + (y-4)^2 = r^2$となります。

この円が$x$軸に接するので、円の中心から$x$軸までの距離が半径となります。

中心$(3, 4)$から$x$軸までの距離は4なので、$r = 4$となります。

したがって、$r^2 = 16$。

よって、円の方程式は$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16$となります。

問題26(1):

$x^2 + y^2 + 2x = 0$を平方完成します。

$(x^2 + 2x) + y^2 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 1$

$(x+1)^2 + y^2 = 1$

これは中心が$(-1, 0)$、半径が1の円を表します。

問題26(2):

$x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$を平方完成します。

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 10y) + 16 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) + 16 = 9 + 25$

$(x-3)^2 + (y+5)^2 = 34 - 16$

$(x-3)^2 + (y+5)^2 = 18$

これは中心が$(3, -5)$、半径が$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$の円を表します。

3. 最終的な答え

問題25(1): $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 25$

問題25(2): $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16$

問題26(1): 中心が$(-1, 0)$、半径が1の円

問題26(2): 中心が$(3, -5)$、半径が$3\sqrt{2}$の円