三角形ABCの内接円が辺BC, CA, ABとそれぞれ点P, Q, Rで接しています。AR = 2, BP = 7, AQ = x, BR = 4 のとき、xの値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCの内接円が辺BC, CA, ABとそれぞれ点P, Q, Rで接しています。AR = 2, BP = 7, AQ = x, BR = 4 のとき、xの値を求めます。

2. 解き方の手順

内接円の性質より、円外の一点から円に引いた2本の接線の長さは等しいことを利用します。

* AR = AQ, BP = BR, CP = CQ が成り立ちます。

* AR = 2, BR = 4, BP = 7 より、AQ = 2, CP = CQ となります。

* BC = BP + PC より、BC = 7 + PC

* AC = AQ + QC より、AC = x + CQ = x + CP

* AB = AR + RB = 2 + 4 = 6

* BC = BP + PC = 7 + CP

* CP = CQ なので、BC = 7 + CQ

* AC = AQ + CQ = x + CQ

ここで、AB = 6, BC = 7 + CP, AC = x + CPの関係を利用して、式を立てます。

与えられた情報から、

$AQ = x$

$AR = 2$

$BR = 4$

$BP = 7$

円外の点から円に引いた接線の長さは等しいので、

$AQ = AR$

$BP = BR$

$CP = CQ$

よって

$x = 2$

$BP = BR = 7$

しかし、これはBR=4という与えられた条件と矛盾するので、問題文に誤りがあるか、図が正確ではありません。BR=4を受け入れると、BP=4となるので、BC=BP+PC=4+PCとなります。

AC=AQ+QC=x+QC=x+PC.

しかしこのままでは解けないため、与えられた情報が間違っていると判断します。問題文または図の誤りを無視して、BP=BR=4を仮定し、BC=7を与えられた情報とすると、

BP = BR,

AQ = AR

CP = CQ

が成り立ちます。

AR = 2, BR = 4 なので、AQ = 2, BP = 4。

BC = 7 なので、CP = BC - BP = 7 - 4 = 3。

したがって、CQ = 3。

AC = AQ + CQ = 2 + 3 = 5。

よって、x = 5。

仮に、与えられた7をPCの長さとすると、

PC=7なので、CQ=7

AC=x

AR=2なので、AQ=2

AC=AQ+CQより、x=2+7=9

x=9

3. 最終的な答え

$x = 9$