正八角形に関する次の2つの問題を解きます。 (1) 正八角形の8個の頂点から4個を選んでできる四角形の個数を求めます。 (2) 正八角形の対角線の本数を求めます。

1. 問題の内容

正八角形に関する次の2つの問題を解きます。

(1) 正八角形の8個の頂点から4個を選んでできる四角形の個数を求めます。

(2) 正八角形の対角線の本数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 8個の頂点から4個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの数 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算できます。ここで、$n = 8$、$r = 4$です。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(2) 正$n$角形の対角線の本数は $\frac{n(n-3)}{2}$ で求められます。正八角形の場合、$n = 8$なので、

$\frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$

3. 最終的な答え

(1) 70個

(2) 20本