4点A(-3, 2), B(2, -2), C(4, 3), Dを頂点とする平行四辺形において、頂点Dとなりうる点の座標を全て求める。

1. 問題の内容

4点A(-3, 2), B(2, -2), C(4, 3), Dを頂点とする平行四辺形において、頂点Dとなりうる点の座標を全て求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形になるためには、向かい合う辺が平行で長さが等しい必要があります。つまり、平行四辺形の対角線の中点は一致します。

与えられた3点A, B, Cから、Dの位置は3通り考えられます。

(1) 四角形ABCDが平行四辺形の場合：

このとき、対角線ACの中点と対角線BDの中点が一致します。

点Dの座標を(x, y)とすると、

ACの中点は $(\frac{-3+4}{2}, \frac{2+3}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

BDの中点は $(\frac{2+x}{2}, \frac{-2+y}{2})$

したがって、

$\frac{2+x}{2} = \frac{1}{2}$ より $x = -1$

$\frac{-2+y}{2} = \frac{5}{2}$ より $y = 7$

Dの座標は (-1, 7)

(2) 四角形ABDCが平行四辺形の場合：

このとき、対角線ADの中点と対角線BCの中点が一致します。

点Dの座標を(x, y)とすると、

ADの中点は $(\frac{-3+x}{2}, \frac{2+y}{2})$

BCの中点は $(\frac{2+4}{2}, \frac{-2+3}{2}) = (3, \frac{1}{2})$

したがって、

$\frac{-3+x}{2} = 3$ より $x = 9$

$\frac{2+y}{2} = \frac{1}{2}$ より $y = -1$

Dの座標は (9, -1)

(3) 四角形ACBDが平行四辺形の場合：

このとき、対角線ABの中点と対角線CDの中点が一致します。

点Dの座標を(x, y)とすると、

ABの中点は $(\frac{-3+2}{2}, \frac{2-2}{2}) = (-\frac{1}{2}, 0)$

CDの中点は $(\frac{4+x}{2}, \frac{3+y}{2})$

したがって、

$\frac{4+x}{2} = -\frac{1}{2}$ より $x = -5$

$\frac{3+y}{2} = 0$ より $y = -3$

Dの座標は (-5, -3)

3. 最終的な答え

頂点Dとなりうる点の座標は、(-1, 7), (9, -1), (-5, -3) である。