直角三角形ABCにおいて、$\angle A = 90^\circ$である。$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点をDとする。CDのDの方への延長上に$\angle DBE = 90^\circ$となるような点Eをとる。 (1) $\angle DBC + \angle DCB$の値を求めよ。 (2) $\angle BEC$の値を求めよ。 (3) 点A, E, B, Dは同一円周上にあることを示せ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle A = 90^\circ$である。$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点をDとする。CDのDの方への延長上に$\angle DBE = 90^\circ$となるような点Eをとる。

(1) $\angle DBC + \angle DCB$の値を求めよ。

(2) $\angle BEC$の値を求めよ。

(3) 点A, E, B, Dは同一円周上にあることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCにおいて、$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$である。$\angle A = 90^\circ$なので、

$\angle B + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。

Dは$\angle B$と$\angle C$の二等分線の交点であるから、

$\angle DBC = \frac{1}{2}\angle B$、$\angle DCB = \frac{1}{2}\angle C$。

よって、

$\angle DBC + \angle DCB = \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$。

(2)

$\angle DBE = 90^\circ$であるから、三角形DBEにおいて、

$\angle DEB = 90^\circ - \angle BDE$。

$\angle BDC$は三角形DBCの外角であるから、

$\angle BDC = \angle DBC + \angle DCB = 45^\circ$。

$\angle BDE = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$。

よって、$\angle DEB = 90^\circ - 135^\circ = -45^\circ$となり、これはありえない。

正しくは、$\angle EBC = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B$である。三角形BECについて、

$\angle BEC + \angle EBC + \angle ECB = 180^\circ$

$\angle BEC = 180^\circ - \angle EBC - \angle ECB$

$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle B$

$\angle ECB = \angle DCB = \frac{1}{2} \angle C$

$\angle BEC = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle B - \frac{1}{2} \angle C$

$\angle BEC = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle B + \angle C)$

$\angle BEC = 180^\circ - \frac{1}{2} (90^\circ)$

$\angle BEC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\angle DBE=90^\circ$から$\angle DEB=90^\circ - \angle BDE$

$\angle BDE + \angle BDC = 180^\circ$

$\angle BDC = \angle DBC + \angle DCB = 45^\circ$

$\angle BDE = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\angle DEB = 90^\circ - 135^\circ = -45^\circ$, これはありえない。

別の方法として、

$\angle EBC=\frac{B}{2}, \angle ECB=\frac{C}{2}$なので、$\angle BEC = 180 - \frac{B}{2} - \frac{C}{2} = 180 - \frac{B+C}{2} = 180 - 45 = 135$度。しかしこれは違うはず。

線分CDを延長した先にEがあるので、$90^\circ$は$\angle DBE$ではなくて$\angle CBE$。

このとき$\angle DBC=\angle EBC$より$\angle CBE=B/2$。三角形CEBを見ると、$\angle CEB + \angle ECB + \angle CBE = 180$。$\angle CEB = 180 - (B/2 + C/2) = 180 - 45 = 135$度

(3)

点A, E, B, Dが同一円周上にあることを示す。

点A, E, B, Dが同一円周上にあるためには、$\angle AEB = \angle ADB$または$\angle EAB = \angle EDB$が成り立つ必要がある。

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA)$。

$\angle DAB = 90^\circ - \angle DBA$。

$\angle DBE = 90^\circ$より、$\angle ABE = \angle ABC - 90^\circ = 0^\circ$。

このとき、ABは直線である。

3. 最終的な答え

(1) $\angle DBC + \angle DCB = 45^\circ$

(2) $\angle BEC = 45^\circ$

(3) 点A, E, B, Dは同一円周上にあることを示す (未完成)