三角形ABCにおいて、AB = 7, BC = $3\sqrt{2}$, CA = 5である。このとき、$cos \angle BAC$と$sin \angle BAC$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 7, BC = $3\sqrt{2}$, CA = 5である。このとき、$cos \angle BAC$と$sin \angle BAC$を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$cos \angle BAC$を求める。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot cos \angle BAC$

$(3\sqrt{2})^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot cos \angle BAC$

$18 = 49 + 25 - 70 \cdot cos \angle BAC$

$70 \cdot cos \angle BAC = 49 + 25 - 18 = 56$

$cos \angle BAC = \frac{56}{70} = \frac{4}{5}$

$sin^2 \angle BAC + cos^2 \angle BAC = 1$を利用して、$sin \angle BAC$を求める。

$sin^2 \angle BAC = 1 - cos^2 \angle BAC$

$sin^2 \angle BAC = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$sin \angle BAC = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

（$sin \angle BAC > 0$である。）

3. 最終的な答え

$cos \angle BAC = \frac{4}{5}$

$sin \angle BAC = \frac{3}{5}$