SENSEI AI
About App

問題は、正六角形において、ベクトル $\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{ED} = \vec{b}$ とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) 空欄に適切な点を記入する問題。 (2) 与えられたベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合 $k\vec{a} + m\vec{b}$ の形で表す問題。

幾何学ベクトル正六角形ベクトルの線形結合
2025/4/20

1. 問題の内容

問題は、正六角形において、ベクトル OA⃗=a⃗\vec{OA} = \vec{a}、ED⃗=b⃗\vec{ED} = \vec{b} とするとき、以下の2つの問いに答えるものです。
(1) 空欄に適切な点を記入する問題。
(2) 与えられたベクトルを a⃗\vec{a} と b⃗\vec{b} の線形結合 ka⃗+mb⃗k\vec{a} + m\vec{b} の形で表す問題。

2. 解き方の手順

(1) 空欄に適切な点を記入する問題。
* ① a⃗=OA⃗\vec{a} = \vec{OA}より、a⃗=OA⃗−CB⃗=EF⃗−DO⃗\vec{a} = \vec{OA} - \vec{CB} = \vec{EF} - \vec{DO} を考えると、OA⃗=BC⃗\vec{OA} = \vec{BC}、ED⃗=FO⃗\vec{ED} = \vec{FO} 、AB⃗=OC⃗\vec{AB} = \vec{OC} がわかる。したがって、DO⃗=a⃗\vec{DO} = \vec{a} より、EF⃗−a⃗=EF⃗−DO⃗\vec{EF}-\vec{a} = \vec{EF} - \vec{DO}。ベクトル EF⃗\vec{EF} はベクトル OA⃗\vec{OA}と逆向きで、大きさが同じなので、EF⃗=−a⃗\vec{EF} = -\vec{a}. ゆえに、a⃗=−a⃗−DO⃗\vec{a} = -\vec{a}-\vec{DO}.
* ② b⃗=ED⃗\vec{b} = \vec{ED}より、b⃗=ED⃗=FO⃗=OC⃗−AB⃗ \vec{b} = \vec{ED} = \vec{FO} = \vec{OC} - \vec{AB}を考えると、ED⃗=b⃗,OC⃗=a⃗,AB⃗=b⃗\vec{ED} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{a}, \vec{AB} = \vec{b}. よってFO⃗=b⃗\vec{FO}=\vec{b}.
(2) 与えられたベクトルを ka⃗+mb⃗k\vec{a} + m\vec{b} の形で表す問題。
* ① BC⃗=−a⃗\vec{BC} = -\vec{a} と表される。したがって、BC⃗=−1a⃗+0b⃗\vec{BC} = -1\vec{a} + 0\vec{b}
* ② FC⃗=2FO⃗=2b⃗=0a⃗+2b⃗\vec{FC} = 2\vec{FO} = 2\vec{b} = 0\vec{a} + 2\vec{b}
* ③ OB⃗=OA⃗+AB⃗=a⃗+b⃗=1a⃗+1b⃗\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{a} + \vec{b} = 1\vec{a} + 1\vec{b}
* ④ CA⃗=CB⃗+BA⃗=AO⃗+BA⃗=−a⃗−b⃗\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{AO} + \vec{BA} = -\vec{a} - \vec{b}. したがって、CA⃗=−1a⃗−1b⃗\vec{CA} = -1\vec{a} - 1\vec{b}
* ⑤ EC⃗=EF⃗+FC⃗=−a⃗+2b⃗\vec{EC} = \vec{EF} + \vec{FC} = -\vec{a} + 2\vec{b}. したがって、EC⃗=−1a⃗+2b⃗\vec{EC} = -1\vec{a} + 2\vec{b}
* ⑥ AE⃗=AO⃗+OE⃗=AO⃗−ED⃗=−a⃗−b⃗−b⃗=−OA⃗+DE⃗=−a⃗−b⃗=−2a⃗−b⃗\vec{AE} = \vec{AO} + \vec{OE} = \vec{AO} - \vec{ED} = -\vec{a} - \vec{b} - \vec{b} = -\vec{OA} + \vec{DE} = -\vec{a} - \vec{b} = -2\vec{a} - \vec{b}.したがって、AE⃗=−2a⃗−1b⃗\vec{AE} = -2\vec{a} - 1\vec{b}.

3. 最終的な答え

(1) 次の\_に、点A, B, …, F, O の中の適切なものを書きなさい。
* ① a⃗=OA⃗−CB⃗=EF⃗−DO⃗\vec{a} = \vec{OA} - \vec{CB} = \vec{EF} - \vec{DO}
* ② b⃗=ED⃗=FO⃗=OC⃗−AB⃗\vec{b} = \vec{ED} = \vec{FO} = \vec{OC} - \vec{AB}
* ③ a⃗+b⃗−OB⃗=FA⃗\vec{a}+\vec{b}-\vec{OB}=\vec{FA}
* ④ −2a⃗=AD⃗-2\vec{a}=\vec{AD}
* ⑤ a⃗−b⃗=CA⃗=DF⃗\vec{a}-\vec{b}=\vec{CA}=\vec{DF}
(2) 次のベクトルを ka⃗+mb⃗k\vec{a} + m\vec{b} の形に表しなさい。
* ① BC⃗=−1a⃗+0b⃗\vec{BC} = -1\vec{a} + 0\vec{b}
* ② FC⃗=0a⃗+2b⃗\vec{FC} = 0\vec{a} + 2\vec{b}
* ③ OB⃗=1a⃗+1b⃗\vec{OB} = 1\vec{a} + 1\vec{b}
* ④ CA⃗=−1a⃗−1b⃗\vec{CA} = -1\vec{a} - 1\vec{b}
* ⑤ EC⃗=−1a⃗+2b⃗\vec{EC} = -1\vec{a} + 2\vec{b}
* ⑥ AE⃗=−2a⃗−1b⃗\vec{AE} = -2\vec{a} - 1\vec{b}

「幾何学」の関連問題

円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AC上に点Eを$\angle ADE = \angle BDC$となるようにとる。このとき、以下の(1)から(5)を証明する問題です。 (1) $\triangl...

円四角形相似円周角の定理メネラウスの定理
2025/4/20

一辺の長さが10cmの正三角形ABCがある。辺AB, AC上にそれぞれ点D, EをDE//BCとなるようにとり、線分DEを折り目として紙を折る。DEの長さを$x$ cmとし、三角形ADEのうち四角形B...

正三角形面積折り返し相似最大値
2025/4/20

2つの円、円1: $x^2 + y^2 = 5$ と 円2: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ が与えられています。 (1) これらの円が異なる2点で交わることを示します。 (2) 2つ...

円交点方程式座標
2025/4/20

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=3$であるとき、$\angle C$の大きさを求めよ。

三角形余弦定理角度
2025/4/20

野球場で選手が打ったボールの軌跡が放物線を描いている。図2はその放物線を真横から見た図である。放物線の方程式と、B地点におけるボールの高さを選択肢から選ぶ問題である。ただし、A地点を原点とし、AB=1...

放物線二次関数軌跡座標方程式
2025/4/20

曲線 $9x^2 + 16y^2 = 25$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

接線陰関数楕円微分
2025/4/20

長方形ABCDにおいて、AB=8cm、AD=10cmである。辺CD上に点Pがある。点Cを直線BPで折り返し、点C'が辺ADと重なる。 (1) △ABC'と△DC'Pが相似であることを証明しなさい。 (...

相似長方形折り返し三平方の定理面積図形
2025/4/20

三角形ABCと三角形ACDにおいて、$\angle ABC = \angle ACD$, $AB = 8$ cm, $BC = 3$ cm, $CA = 7$ cmである。このとき、線分CDの長さを求...

相似三角形辺の比
2025/4/20

平行四辺形ABCDにおいて、ACとDEが垂直である。$\angle x$の大きさを求める。$\angle ABC = 75^\circ$, $\angle DCE = 60^\circ$が与えられてい...

平行四辺形角度三角形内角の和垂直
2025/4/20

$\theta$ は鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

三角比角度sincostan鋭角
2025/4/20