円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AC上に点Eを$\angle ADE = \angle BDC$となるようにとる。このとき、以下の(1)から(5)を証明する問題です。 (1) $\triangle DAE \sim \triangle DBC$ (2) $AD \cdot BC = AE \cdot BD$ (3) $\triangle ABD \sim \triangle ECD$ (4) $AB \cdot CD = EC \cdot BD$ (5) $AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AC上に点Eを$\angle ADE = \angle BDC$となるようにとる。このとき、以下の(1)から(5)を証明する問題です。

(1) $\triangle DAE \sim \triangle DBC$

(2) $AD \cdot BC = AE \cdot BD$

(3) $\triangle ABD \sim \triangle ECD$

(4) $AB \cdot CD = EC \cdot BD$

(5) $AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DAE \sim \triangle DBC$ を示す。

$\angle ADE = \angle BDC$ (仮定)

円周角の定理より、$\angle DAE = \angle DBC$ (弧DCに対する円周角)

よって、2角がそれぞれ等しいので、$\triangle DAE \sim \triangle DBC$

(2) $AD \cdot BC = AE \cdot BD$ を示す。

(1)より、$\triangle DAE \sim \triangle DBC$ であるから、対応する辺の比は等しい。

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{BC}$

よって、$AD \cdot BC = AE \cdot BD$

(3) $\triangle ABD \sim \triangle ECD$ を示す。

$\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC$

$\angle EDC = \angle ADC - \angle ADE$

$\angle ADE = \angle BDC$ より、$\angle ADB = \angle EDC$

円周角の定理より、$\angle ABD = \angle ACD$ (弧ADに対する円周角)　

$\angle ECD = \angle ACD$ であるから $\angle ABD = \angle ECD$

よって、2角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \sim \triangle ECD$

(4) $AB \cdot CD = EC \cdot BD$ を示す。

(3)より、$\triangle ABD \sim \triangle ECD$ であるから、対応する辺の比は等しい。

$\frac{AB}{EC} = \frac{BD}{CD}$

よって、$AB \cdot CD = EC \cdot BD$

(5) $AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$ を示す。

(2)より、$AD \cdot BC = AE \cdot BD$

(4)より、$AB \cdot CD = EC \cdot BD$

これらの2式を足し合わせると、

$AB \cdot CD + AD \cdot BC = EC \cdot BD + AE \cdot BD$

右辺を$BD$でくくると、

$AB \cdot CD + AD \cdot BC = (EC + AE) \cdot BD$

$AE + EC = AC$ であるから、

$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle DAE \sim \triangle DBC$

(2) $AD \cdot BC = AE \cdot BD$

(3) $\triangle ABD \sim \triangle ECD$

(4) $AB \cdot CD = EC \cdot BD$

(5) $AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$