2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ と $x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1 = 0$ の交点と点$(1,0)$を通る円の中心と半径を求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ と $x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1 = 0$ の交点と点$(1,0)$を通る円の中心と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$$x^2 + y^2 - 5 + k(x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1) = 0$$

と表せる。この円が点 $(1, 0)$ を通るので、 $x=1$, $y=0$ を代入すると、

$$1^2 + 0^2 - 5 + k(1^2 + 0^2 + 4(1) - 4(0) - 1) = 0$$

$$1 - 5 + k(1 + 4 - 1) = 0$$

$$-4 + 4k = 0$$

$$4k = 4$$

$$k = 1$$

これを円の方程式に代入すると、

$$x^2 + y^2 - 5 + 1(x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1) = 0$$

$$x^2 + y^2 - 5 + x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1 = 0$$

$$2x^2 + 2y^2 + 4x - 4y - 6 = 0$$

$$x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$$

標準形に変形すると、

$$(x^2 + 2x) + (y^2 - 2y) = 3$$

$$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 3 + 1 + 1$$

$$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 5$$

したがって、中心は $(-1, 1)$、半径は $\sqrt{5}$ である。

3. 最終的な答え

中心: $(-1, 1)$

半径: $\sqrt{5}$