2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ と $x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1 = 0$ の共有点と点 $(1, 0)$ を通る円の中心と半径を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 5$ と $x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1 = 0$ の共有点と点 $(1, 0)$ を通る円の中心と半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの円の共有点を通る円の方程式は、定数 $k$ を用いて

$x^2 + y^2 - 5 + k(x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1) = 0$

と表せます。この円が点 $(1, 0)$ を通るので、この座標を代入すると、

$1^2 + 0^2 - 5 + k(1^2 + 0^2 + 4(1) - 4(0) - 1) = 0$

$-4 + k(1 + 0 + 4 - 0 - 1) = 0$

$-4 + 4k = 0$

$4k = 4$

$k = 1$

よって、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - 5 + (x^2 + y^2 + 4x - 4y - 1) = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 4x - 4y - 6 = 0$

$x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$

平方完成すると、

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 2y) = 3$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 3 + 1 + 1$

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 5$

この円の中心は $(-1, 1)$ で、半径は $\sqrt{5}$ です。

3. 最終的な答え

中心: $(-1, 1)$

半径: $\sqrt{5}$