方程式 $x^2 + y^2 + 2px + 3py + 13 = 0$ が円を表すとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + 2px + 3py + 13 = 0$ が円を表すとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を円の方程式の標準形に変形する。

標準形は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ (ただし、$r>0$)。

与えられた方程式を平方完成させる。

$x^2 + 2px + y^2 + 3py + 13 = 0$

$(x^2 + 2px + p^2) + (y^2 + 3py + \frac{9}{4}p^2) - p^2 - \frac{9}{4}p^2 + 13 = 0$

$(x + p)^2 + (y + \frac{3}{2}p)^2 = p^2 + \frac{9}{4}p^2 - 13$

$(x + p)^2 + (y + \frac{3}{2}p)^2 = \frac{13}{4}p^2 - 13$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要がある。

$\frac{13}{4}p^2 - 13 > 0$

$13p^2 - 52 > 0$

$p^2 - 4 > 0$

$(p - 2)(p + 2) > 0$

したがって、$p < -2$ または $p > 2$。

3. 最終的な答え

$p < -2$ または $p > 2$