三角形ABCがあり、AB=3, BC=5, CA=4である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。また、点Dで辺BCに接して点Aを通る円と辺ABの交点のうち、Aでない方の点をEとする。 (1) 線分BDの長さを求めよ。 (2) 比AI:IDを最も簡単な整数の比で表せ。 (3) 線分BEの長さを求めよ。 (4) 線分BIと線分EDの交点をFとするとき、BF/FIを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB=3, BC=5, CA=4である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。また、点Dで辺BCに接して点Aを通る円と辺ABの交点のうち、Aでない方の点をEとする。

(1) 線分BDの長さを求めよ。

(2) 比AI:IDを最も簡単な整数の比で表せ。

(3) 線分BEの長さを求めよ。

(4) 線分BIと線分EDの交点をFとするとき、BF/FIを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BDの長さを求める。

点Iは三角形ABCの内心なので、角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:AC = 3:4。

BC = 5なので、BD = (3/(3+4)) * BC = (3/7) * 5 = 15/7。

(2) AI:IDを求める。

まずCDを求める。CD = BC - BD = 5 - 15/7 = (35-15)/7 = 20/7。

角の二等分線の性質より、AI:ID = AB:BD = 3:(15/7) = (3*7):15 = 21:15 = 7:5。

(3) BEの長さを求める。

方べきの定理より、BE * BA = BD^2。

BE * 3 = (15/7)^2 = 225/49。

BE = (225/49) * (1/3) = 225/(49*3) = 75/49。

(4) BF/FIを求める。

三角形BDEにおいて、直線BIと線分EDの交点がFである。メネラウスの定理を用いる。

三角形IEDにおいて、直線BFが辺IE, ED, DIと交わるので、

(IF/FE) * (EB/BD) * (DF/DI) = 1。

三角形ABIにおいて、直線EDが辺AB, BI, IAと交わるので、メネラウスの定理より、

(AE/EB) * (BF/FI) * (ID/DA) = 1。

まずAE/EBを求める。AB = 3, BE = 75/49なので、AE = 3 - 75/49 = (147-75)/49 = 72/49。

AE/EB = (72/49) / (75/49) = 72/75 = 24/25。

ID/DA = ID/AI = 5/7。

よって、(24/25) * (BF/FI) * (5/7) = 1。

BF/FI = (25/24) * (7/5) = 175/120 = 35/24。

3. 最終的な答え

(1) BD = 15/7

(2) AI:ID = 7:5

(3) BE = 75/49

(4) BF/FI = 35/24