三角形ABCがあり、$AB=3$, $BC=5$, $CA=4$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。また、点Dで辺BCに接して点Aを通る円と辺ABの交点のうち、Aでない方の点をEとする。 (1) 線分BDの長さを求める。 (2) 比AI:IDを最も簡単な整数の比で表す。 (3) 線分BEの長さを求める。 (4) 線分BIと線分EDの交点をFとするとき、$BF/FI$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=3$, $BC=5$, $CA=4$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとする。また、点Dで辺BCに接して点Aを通る円と辺ABの交点のうち、Aでない方の点をEとする。

(1) 線分BDの長さを求める。

(2) 比AI:IDを最も簡単な整数の比で表す。

(3) 線分BEの長さを求める。

(4) 線分BIと線分EDの交点をFとするとき、$BF/FI$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の定理より、

$BD:DC = AB:AC = 3:4$

$BC = 5$なので、

$BD = BC \times \frac{3}{3+4} = 5 \times \frac{3}{7} = \frac{15}{7}$

(2) $AD$は$\angle BAC$の二等分線なので、角の二等分線の定理より、

$BD:CD=AB:AC=3:4$

$BD=\frac{15}{7}$、$CD=BC-BD=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

内心Iは角の二等分線の交点なので、$BI$は$\angle ABC$の二等分線である。

$\triangle ABD$において、$BI$は$\angle ABD$の二等分線なので、角の二等分線の定理より、

$AI:ID = BA:BD = 3: \frac{15}{7} = 1: \frac{5}{7} = 7:5$

(3) 点Dで辺BCに接し、点Aを通る円を考える。この円は辺ABとも交わり、その交点はEである。

方べきの定理より、$BE \times BA = BD^2$

$BE \times 3 = (\frac{15}{7})^2$

$BE = \frac{225}{49} \times \frac{1}{3} = \frac{75}{49}$

(4) $\triangle BED$において、$\angle EDB = \angle DAB$（接弦定理）

$\angle DAB = \angle DAC$（$AD$は$\angle BAC$の二等分線）

$\angle EDB = \angle DAC$

また、$\angle DAI = \angle DAC$なので、$\angle EDB = \angle DAI$

よって、$\triangle BFI$と$\triangle DEI$は相似である。

$BF:DI = BI:EI$

$\triangle ABD$で角の二等分線定理より、$AI:ID = AB:BD = 3: \frac{15}{7} = 7:5$

$\frac{AI}{ID} = \frac{7}{5}$なので、$ID = \frac{5}{7} AI$

$BI$は$\angle ABC$の二等分線なので、$BF/FI = BE/EI$ではない気がする。

メネラウスの定理を使う。

$\triangle AED$において、直線BIについて、

$\frac{AB}{BE} \times \frac{EF}{FD} \times \frac{DI}{IA} = 1$

$\frac{3}{75/49} \times \frac{EF}{FD} \times \frac{5}{7} = 1$

$\frac{3 \times 49}{75} \times \frac{EF}{FD} \times \frac{5}{7} = 1$

$\frac{49}{25} \times \frac{EF}{FD} \times \frac{5}{7} = 1$

$\frac{7}{5} \times \frac{EF}{FD} = 1$

$\frac{EF}{FD} = \frac{5}{7}$

$\triangle BIC$において、直線EDについて、

$\frac{BD}{DC} \times \frac{CA}{AE} \times \frac{EF}{FB} = 1$

$\frac{3}{4}$のようだが，問題文を見直す必要がありそうです．

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15}{7}$

(2) $7:5$

(3) $\frac{75}{49}$

(4) 解法不明