点A(1, 2, 3), B(2, 1, 0) が与えられているとき、原点Oと点A, Bを通る平面を$\alpha$とする。 (1) 点P($x$, -1, 1) が平面$\alpha$上にあるとき、$x$の値を求めよ。 (2) 点H(-1, $y$, $z$) が$\overrightarrow{OH} \perp \alpha$を満たすとき、$y$, $z$の値を求めよ。

1. 問題の内容

点A(1, 2, 3), B(2, 1, 0) が与えられているとき、原点Oと点A, Bを通る平面を$\alpha$とする。

(1) 点P($x$, -1, 1) が平面$\alpha$上にあるとき、$x$の値を求めよ。

(2) 点H(-1, $y$, $z$) が$\overrightarrow{OH} \perp \alpha$を満たすとき、$y$, $z$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平面$\alpha$上の任意の点は、実数$s, t$を用いて$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$と表せる。

ここで、$\overrightarrow{OP} = (x, -1, 1)$, $\overrightarrow{OA} = (1, 2, 3)$, $\overrightarrow{OB} = (2, 1, 0)$であるから、

$(x, -1, 1) = s(1, 2, 3) + t(2, 1, 0) = (s + 2t, 2s + t, 3s)$

したがって、次の連立方程式が得られる。

$x = s + 2t$

$-1 = 2s + t$

$1 = 3s$

3番目の式より、$s = \frac{1}{3}$。

2番目の式に代入して、$-1 = 2(\frac{1}{3}) + t$より、$t = -\frac{5}{3}$。

これらを1番目の式に代入して、$x = \frac{1}{3} + 2(-\frac{5}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{9}{3} = -3$。

(2) $\overrightarrow{OH} \perp \alpha$であるから、$\overrightarrow{OH}$は$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の両方に垂直である。

したがって、$\overrightarrow{OH} = k(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB})$と表せる。

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1, 3 \cdot 2 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = (-3, 6, -3) = -3(1, -2, 1)$

$\overrightarrow{OH} = (-1, y, z)$より、

$(-1, y, z) = k(-3, 6, -3)$

よって、$-1 = -3k$, $y = 6k$, $z = -3k$。

1番目の式より、$k = \frac{1}{3}$。

よって、$y = 6(\frac{1}{3}) = 2$, $z = -3(\frac{1}{3}) = -1$。

3. 最終的な答え

(1) $x = -3$

(2) $y = 2$, $z = -1$