円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=BC=5、DA=3、∠A=120°である。 (1) 対角線BDの長さを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=BC=5、DA=3、∠A=120°である。

(1) 対角線BDの長さを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 対角線BDの長さを求める。

三角形ABDにおいて、余弦定理を用いる。BD = a とすると、

$a^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{A}$

$a^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ なので、

$a^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 34 + 15$

$a^2 = 49$

$a = 7$

(2) 辺CDの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、∠C = 180° - ∠A = 180° - 120° = 60°

三角形BCDにおいて、余弦定理を用いる。CD = x とすると、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{C}$

$7^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \cos{60^\circ}$

$49 = 25 + x^2 - 10x \cdot \frac{1}{2}$

$49 = 25 + x^2 - 5x$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

$(x - 8)(x + 3) = 0$

x > 0 より、x = 8

したがって、CD = 8

3. 最終的な答え

(1) 対角線BDの長さ: 7

(2) 辺CDの長さ: 8