長方形ABCDにおいて、AB=8cm、AD=10cmである。辺CD上に点Pがある。点Cを直線BPで折り返し、点C'が辺ADと重なる。 (1) △ABC'と△DC'Pが相似であることを証明しなさい。 (2) 四角形BCPC'の面積を求めなさい。 (3) BPの長さを求めなさい。

はい、承知いたしました。問題文と画像から以下の問題について回答します。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=8cm、AD=10cmである。辺CD上に点Pがある。点Cを直線BPで折り返し、点C'が辺ADと重なる。

(1) △ABC'と△DC'Pが相似であることを証明しなさい。

(2) 四角形BCPC'の面積を求めなさい。

(3) BPの長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) △ABC' ∽ △DC'P の証明は問題文に記載されているので、ここでは省略します。

(2) 四角形BCPC'の面積を求める。

まず、長方形ABCDの面積は $8 \times 10 = 80 \ cm^2$ である。

次に、△ABC'の面積を求める。

$AD = AC' + C'D$ より $10 = AC' + C'D$となる。

ここで、$C'D = x$とおくと、$AC' = 10-x$となる。

△DC'Pにおいて、DC'=x, DP=yと置く。

△ABC' ∽ △DC'P より、相似比は、$AB:DC' = 8:x$である。

したがって、$AC' : DP = 8 : x$　となるので、

$AC' : DP = (10-x) : y = 8 : x$

よって、$(10-x)x = 8y$

$10x-x^2 = 8y$

ここで、△DC'Pは直角三角形なので、三平方の定理より、

$x^2 + y^2 = C'P^2$

折り返しなので、$C'P = CP$

$x^2 + y^2 = CP^2$

また、$AB = CD = CP + DP = CP + y = 8$より、$CP = 8 -y$

したがって、$x^2 + y^2 = (8-y)^2 = 64 - 16y + y^2$

$x^2 = 64 - 16y$

$10x - x^2 = 8y$なので、$x^2 = 10x - 8y$

よって、$10x - 8y = 64 - 16y$

$10x + 8y = 64$

$5x + 4y = 32$

$4y = 32 - 5x$

$y = 8 - \frac{5}{4}x$

$x^2 = 64 - 16y = 64 - 16(8 - \frac{5}{4}x) = 64 - 128 + 20x$

$x^2 - 20x + 64 = 0$

$(x - 4)(x - 16) = 0$

$x = 4, 16$

ここで、x < 10なので、x = 4

したがって、$DC' = 4cm$ , $C'A = 10 - 4 = 6cm$

$y = 8 - \frac{5}{4} \times 4 = 8 - 5 = 3$

$DP = 3cm$

△ABC' = $\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \ cm^2$

△DC'P = $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \ cm^2$

△BCP = $\frac{1}{2} \times BC \times CP = \frac{1}{2} \times 10 \times (8 - 3) = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \ cm^2$

四角形BCPC' = △BCP + △BC'P = $2 \times 25 = 50 \ cm^2$

(3) BPの長さを求める。

△BCPにおいて、$BC=10, CP = 5$なので、三平方の定理より

$BP^2 = BC^2 + CP^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$

$BP = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) △ABC' ∽ △DC'P (証明は省略)

(2) 四角形BCPC'の面積: $50 \ cm^2$

(3) BPの長さ: $5\sqrt{5} \ cm$