曲線 $9x^2 + 16y^2 = 25$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $9x^2 + 16y^2 = 25$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線の方程式を $x$ で微分します。陰関数の微分法を用いると、

$9x^2 + 16y^2 = 25$ の両辺を $x$ で微分すると、

$18x + 32y \frac{dy}{dx} = 0$

となります。

次に、$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$32y \frac{dy}{dx} = -18x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{18x}{32y} = -\frac{9x}{16y}$

点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求めるために、$x = 1$ と $y = 1$ を代入します。

$\frac{dy}{dx}\Big|_{(1,1)} = -\frac{9(1)}{16(1)} = -\frac{9}{16}$

したがって、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは $-\frac{9}{16}$ です。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$m$ は傾き、$(x_1, y_1)$ は接点です。

よって、接線の方程式は

$y - 1 = -\frac{9}{16}(x - 1)$

これを整理すると、

$16(y - 1) = -9(x - 1)$

$16y - 16 = -9x + 9$

$9x + 16y = 25$

3. 最終的な答え

$9x + 16y = 25$