三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=3$であるとき、$\angle C$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=3$であるとき、$\angle C$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して$\angle C$のコサインの値を求め、それから角度を求めます。

余弦定理は、三角形ABCにおいて、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos C$

という関係が成り立つことを表します。

この式に与えられた値を代入すると、

$7^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos C$

$49 = 25 + 9 - 30 \cos C$

$49 = 34 - 30 \cos C$

$30 \cos C = 34 - 49$

$30 \cos C = -15$

$\cos C = -\frac{15}{30}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$となる角Cは、$120^\circ$です。

3. 最終的な答え

$\angle C = 120^\circ$