2つの円、円1: $x^2 + y^2 = 5$ と 円2: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ が与えられています。 (1) これらの円が異なる2点で交わることを示します。 (2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。 (3) 2つの円の交点の座標を求めます。 (4) 2つの円の交点と点(0, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

1. 問題の内容

2つの円、円1: $x^2 + y^2 = 5$ と 円2: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ が与えられています。

(1) これらの円が異なる2点で交わることを示します。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。

(3) 2つの円の交点の座標を求めます。

(4) 2つの円の交点と点(0, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示すには、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和よりも小さく、差よりも大きいことを示します。

円1の中心は(0, 0)で半径は$\sqrt{5}$です。

円2の中心は(1, 2)で半径は2です。

中心間の距離$d$は $d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ です。

半径の和は $\sqrt{5} + 2$ です。

半径の差は $|\sqrt{5} - 2|$ です。

$\sqrt{5}-2 < \sqrt{5} < \sqrt{5}+2$が成り立つため、2つの円は異なる2点で交わります。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めるには、円1の方程式から円2の方程式を引きます。

$x^2 + y^2 - 5 - ((x-1)^2 + (y-2)^2 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 - (x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - 4) = 0$

$x^2 + y^2 - 5 - x^2 + 2x - 1 - y^2 + 4y - 4 + 4 = 0$

$2x + 4y - 6 = 0$

$x + 2y - 3 = 0$

(3) 2つの円の交点の座標を求めるには、(2)で求めた直線の方程式を使い、どちらかの円の方程式に代入します。

$x = 3 - 2y$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$(3 - 2y)^2 + y^2 = 5$

$9 - 12y + 4y^2 + y^2 = 5$

$5y^2 - 12y + 4 = 0$

$(5y - 2)(y - 2) = 0$

$y = 2$ または $y = \frac{2}{5}$

$y = 2$ のとき、$x = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$

$y = \frac{2}{5}$ のとき、$x = 3 - 2(\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{11}{5}$

交点の座標は $(-1, 2)$ と $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ です。

(4) 2つの円の交点 $(-1, 2)$ と $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$ と点(0, 3)を通る円の方程式を求めます。円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とします。

3点を通ることから、

$(-1)^2 + 2^2 + a(-1) + b(2) + c = 0 \Rightarrow 1 + 4 - a + 2b + c = 0 \Rightarrow -a + 2b + c = -5$

$(\frac{11}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2 + a(\frac{11}{5}) + b(\frac{2}{5}) + c = 0 \Rightarrow \frac{121}{25} + \frac{4}{25} + \frac{11}{5}a + \frac{2}{5}b + c = 0 \Rightarrow \frac{11}{5}a + \frac{2}{5}b + c = -\frac{125}{25} = -5$

$0^2 + 3^2 + a(0) + b(3) + c = 0 \Rightarrow 9 + 3b + c = 0 \Rightarrow 3b + c = -9$

$-a + 2b + c = -5$

$\frac{11}{5}a + \frac{2}{5}b + c = -5$

$3b + c = -9$

$11a + 2b + 5c = -25$

$11a + 2b + 5c = -25$

$a + 2b + c = 5$

$3b + c = -9$

$a = - \frac{4}{3}, b= - \frac{11}{3}, c = 2$

中心 $(\frac{2}{3}, \frac{11}{6})$, 半径 $\sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{11}{6})^2 - 2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{121}{36} - 2} = \sqrt{\frac{16+121-72}{36}} = \sqrt{\frac{65}{36}} = \frac{\sqrt{65}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 中心間の距離が半径の和と差の間にあるので、異なる2点で交わる。

(2) $x + 2y - 3 = 0$

(3) $(-1, 2)$ と $(\frac{11}{5}, \frac{2}{5})$

(4) 中心 $(\frac{2}{3}, \frac{11}{6})$, 半径 $\frac{\sqrt{65}}{6}$