$\theta$ は鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることと、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\tan \theta = 2$ なので、$\sin \theta = 2 \cos \theta$ となります。これを $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$5 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\theta$ は鋭角なので $\cos \theta > 0$ です。したがって、

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = 2 \cos \theta$ なので、

$\sin \theta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

次に、$\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求めます。

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{\sin(90^\circ - \theta)}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\tan \theta}$

したがって、

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$