問題は、図に示されたベクトル $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{ED}=\vec{b}$ を用いて、与えられたベクトルを$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す問題です。具体的には、 (1)空欄を埋めてベクトルの関係式を完成させる問題 (2)次のベクトルを $k\vec{a} + m\vec{b}$ の形で表す問題（$\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{FC}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{AE}$をそれぞれ表す） から構成されています。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は、図に示されたベクトル $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{ED}=\vec{b}$ を用いて、与えられたベクトルを$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す問題です。具体的には、

(1)空欄を埋めてベクトルの関係式を完成させる問題

(2)次のベクトルを $k\vec{a} + m\vec{b}$ の形で表す問題（$\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{FC}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{EC}$, $\overrightarrow{AE}$をそれぞれ表す）

から構成されています。

2. 解き方の手順

**(1) 空欄を埋める問題**

1. $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DO}$

図から、$\overrightarrow{OA}$ と同じ向き、同じ長さのベクトルを探します。

2. $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{FQ} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB}$

図から、$\overrightarrow{ED}$ と同じ向き、同じ長さのベクトルを探します。

3. $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{FA}$

平行四辺形法則やベクトルの足し算から求めます。

4. $-2\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{DO} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} = -2\overrightarrow{a}$

5. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DF}$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DF}$

**(2) $k\vec{a}+m\vec{b}$ の形で表す問題**

1. $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{a} = (-1)\vec{a} + 0\vec{b}$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OA} = -\vec{a}$

2. $\overrightarrow{FC} = 2\vec{b}$

$\overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{FO} = 2\overrightarrow{DE} = 2\vec{b} = 0\vec{a} + 2\vec{b}$

3. $\overrightarrow{OB} = \vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \vec{a} + \vec{b}$

4. $\overrightarrow{CA} = -\vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} = (-1)\vec{a} + (1)\vec{b}$

5. $\overrightarrow{AE} = -2\vec{a} - \vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{ED} = -2\vec{a} + (-1)\vec{b}$

6. $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FC} = \vec{a} + 2\vec{b} = (1)\vec{a} + 2\vec{b}$

3. 最終的な答え

**(1) 空欄を埋める問題**

1. $\overrightarrow{DO}$

2. $\overrightarrow{AB}$

3. $\overrightarrow{FA}$

4. $\overrightarrow{AD}$

5. $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DF}$

**(2) $k\vec{a}+m\vec{b}$ の形で表す問題**

1. $\overrightarrow{BC} = (-1)\vec{a} + 0\vec{b}$

2. $\overrightarrow{FC} = 0\vec{a} + 2\vec{b}$

3. $\overrightarrow{OB} = 1\vec{a} + 1\vec{b}$

4. $\overrightarrow{CA} = (-1)\vec{a} + 1\vec{b}$

5. $\overrightarrow{EC} = 1\vec{a} + 2\vec{b}$

6. $\overrightarrow{AE} = -2\vec{a} - \vec{b}$