SENSEI AI
About App

正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺CDを2:1に内分する点をP、辺EFの中点をQとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$とするとき、ベクトル$\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{QP}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}$で表す。

幾何学ベクトル正六角形図形
2025/4/20

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺CDを2:1に内分する点をP、辺EFの中点をQとする。AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}, AF→=b⃗\overrightarrow{AF} = \vec{b}とするとき、ベクトルBC→,EF→,CE→,AC→,BD→,QP→\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{QP}をそれぞれa⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}とAF→=b⃗\overrightarrow{AF} = \vec{b}を用いて、それぞれのベクトルを求める。
* BC→\overrightarrow{BC}: 正六角形の性質より、BC→=AO→=AB→+BO→=a⃗+b⃗\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \vec{a} + \vec{b}
* EF→\overrightarrow{EF}: 正六角形の性質より、EF→=−AB→−AF→=−a⃗−b⃗\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AF} = -\vec{a} - \vec{b}
* CE→\overrightarrow{CE}: CE→=CD→+DE→=−AB→+AF→=−a⃗+b⃗\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = -\vec{a} + \vec{b}
* AC→\overrightarrow{AC}: AC→=BC→+OC→=a⃗+b⃗+a⃗=2a⃗+b⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} = 2\vec{a} + \vec{b}
* BD→\overrightarrow{BD}: BD→=BC→+CD→=a⃗+b⃗+b⃗=a⃗+2b⃗\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{b} = \vec{a} + 2\vec{b}
* QP→\overrightarrow{QP}: QP→=CP→−CQ→\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CQ} よりCP→=13CD→=13b⃗\overrightarrow{CP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\vec{b}, CQ→=CE→+EQ→=−a⃗+b⃗+12(−b⃗)=−a⃗+12b⃗\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EQ} = -\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{b}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}
したがって、QP→=CP→−CQ→=13b⃗−(−a⃗+12b⃗)=a⃗−16b⃗\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CQ} = \frac{1}{3}\vec{b} - (-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}

3. 最終的な答え

BC→=a⃗+b⃗\overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}
EF→=−a⃗−b⃗\overrightarrow{EF} = -\vec{a} - \vec{b}
CE→=−a⃗+b⃗\overrightarrow{CE} = -\vec{a} + \vec{b}
AC→=2a⃗+b⃗\overrightarrow{AC} = 2\vec{a} + \vec{b}
BD→=a⃗+2b⃗\overrightarrow{BD} = \vec{a} + 2\vec{b}
QP→=a⃗−16b⃗\overrightarrow{QP} = \vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}

「幾何学」の関連問題

円に内接する四角形ABCDにおいて、辺AC上に点Eを$\angle ADE = \angle BDC$となるようにとる。このとき、以下の(1)から(5)を証明する問題です。 (1) $\triangl...

円四角形相似円周角の定理メネラウスの定理
2025/4/20

一辺の長さが10cmの正三角形ABCがある。辺AB, AC上にそれぞれ点D, EをDE//BCとなるようにとり、線分DEを折り目として紙を折る。DEの長さを$x$ cmとし、三角形ADEのうち四角形B...

正三角形面積折り返し相似最大値
2025/4/20

2つの円、円1: $x^2 + y^2 = 5$ と 円2: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ が与えられています。 (1) これらの円が異なる2点で交わることを示します。 (2) 2つ...

円交点方程式座標
2025/4/20

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=3$であるとき、$\angle C$の大きさを求めよ。

三角形余弦定理角度
2025/4/20

野球場で選手が打ったボールの軌跡が放物線を描いている。図2はその放物線を真横から見た図である。放物線の方程式と、B地点におけるボールの高さを選択肢から選ぶ問題である。ただし、A地点を原点とし、AB=1...

放物線二次関数軌跡座標方程式
2025/4/20

曲線 $9x^2 + 16y^2 = 25$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

接線陰関数楕円微分
2025/4/20

長方形ABCDにおいて、AB=8cm、AD=10cmである。辺CD上に点Pがある。点Cを直線BPで折り返し、点C'が辺ADと重なる。 (1) △ABC'と△DC'Pが相似であることを証明しなさい。 (...

相似長方形折り返し三平方の定理面積図形
2025/4/20

三角形ABCと三角形ACDにおいて、$\angle ABC = \angle ACD$, $AB = 8$ cm, $BC = 3$ cm, $CA = 7$ cmである。このとき、線分CDの長さを求...

相似三角形辺の比
2025/4/20

平行四辺形ABCDにおいて、ACとDEが垂直である。$\angle x$の大きさを求める。$\angle ABC = 75^\circ$, $\angle DCE = 60^\circ$が与えられてい...

平行四辺形角度三角形内角の和垂直
2025/4/20

$\theta$ は鋭角で、$\tan \theta = 2$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan(90^\circ - \theta)$ の値を求める。

三角比角度sincostan鋭角
2025/4/20