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正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺CDを2:1に内分する点をP、辺EFの中点をQとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$とするとき、ベクトル$\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{QP}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}$で表す。

幾何学ベクトル正六角形図形
2025/4/20

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、中心をO、辺CDを2:1に内分する点をP、辺EFの中点をQとする。AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}, AF→=b⃗\overrightarrow{AF} = \vec{b}とするとき、ベクトルBC→,EF→,CE→,AC→,BD→,QP→\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{QP}をそれぞれa⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件AB→=a⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}とAF→=b⃗\overrightarrow{AF} = \vec{b}を用いて、それぞれのベクトルを求める。
* BC→\overrightarrow{BC}: 正六角形の性質より、BC→=AO→=AB→+BO→=a⃗+b⃗\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \vec{a} + \vec{b}
* EF→\overrightarrow{EF}: 正六角形の性質より、EF→=−AB→−AF→=−a⃗−b⃗\overrightarrow{EF} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AF} = -\vec{a} - \vec{b}
* CE→\overrightarrow{CE}: CE→=CD→+DE→=−AB→+AF→=−a⃗+b⃗\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = -\vec{a} + \vec{b}
* AC→\overrightarrow{AC}: AC→=BC→+OC→=a⃗+b⃗+a⃗=2a⃗+b⃗\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{a} = 2\vec{a} + \vec{b}
* BD→\overrightarrow{BD}: BD→=BC→+CD→=a⃗+b⃗+b⃗=a⃗+2b⃗\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{b} = \vec{a} + 2\vec{b}
* QP→\overrightarrow{QP}: QP→=CP→−CQ→\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CQ} よりCP→=13CD→=13b⃗\overrightarrow{CP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\vec{b}, CQ→=CE→+EQ→=−a⃗+b⃗+12(−b⃗)=−a⃗+12b⃗\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EQ} = -\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}(-\vec{b}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}
したがって、QP→=CP→−CQ→=13b⃗−(−a⃗+12b⃗)=a⃗−16b⃗\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{CP} - \overrightarrow{CQ} = \frac{1}{3}\vec{b} - (-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}

3. 最終的な答え

BC→=a⃗+b⃗\overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}
EF→=−a⃗−b⃗\overrightarrow{EF} = -\vec{a} - \vec{b}
CE→=−a⃗+b⃗\overrightarrow{CE} = -\vec{a} + \vec{b}
AC→=2a⃗+b⃗\overrightarrow{AC} = 2\vec{a} + \vec{b}
BD→=a⃗+2b⃗\overrightarrow{BD} = \vec{a} + 2\vec{b}
QP→=a⃗−16b⃗\overrightarrow{QP} = \vec{a} - \frac{1}{6}\vec{b}

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