問題は、ベクトル $\vec{a} = \vec{OA}$ と $\vec{b} = \vec{ED}$ が与えられたとき、(1)ベクトルの等式を完成させ、(2)いくつかのベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合 $k\vec{a} + m\vec{b}$ の形で表すことです。

1. 問題の内容

問題は、ベクトル $\vec{a} = \vec{OA}$ と $\vec{b} = \vec{ED}$ が与えられたとき、(1)ベクトルの等式を完成させ、(2)いくつかのベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合 $k\vec{a} + m\vec{b}$ の形で表すことです。

2. 解き方の手順

(1)

1. $\vec{a} = \vec{OA} = \vec{CB} = \vec{EF} = \vec{DO}$: これは正六角形の性質から、ベクトル $\vec{OA}$ と平行で長さが等しいベクトルを列挙しています。したがって、空欄には点B, F, Oのうち適切なものが入ります。

2. $\vec{b} = \vec{ED} = \vec{FO} = \vec{OC} = \vec{AB}$: 同様に、ベクトル $\vec{ED}$ と平行で長さが等しいベクトルを列挙しています。

3. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OB} = \vec{FA}$: これはベクトルの和の性質を利用しています。$\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$ と $\vec{FO}+\vec{OA}=\vec{FA}$ から導かれます。

4. $-2\vec{a} = \vec{AD}$: ベクトル $\vec{OA}$ の逆方向のベクトルを2倍したものが $\vec{AD}$ になります。

5. $\vec{a} - \vec{b} = \vec{CA} = \vec{DF}$: $\vec{CA}=\vec{CO}+\vec{OA}=-\vec{OC}+\vec{OA}=-\vec{b}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}$と$\vec{DF} = \vec{DO}+\vec{OF}=\vec{a}-\vec{b}$

(2)

1. $\vec{BC} = -\vec{a} = -1\vec{a} + 0\vec{b}$

2. $\vec{FC} = 2\vec{FO} = 2\vec{b} = 0\vec{a} + 2\vec{b}$

3. $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{a} + \vec{b} = 1\vec{a} + 1\vec{b}$

4. $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = 1\vec{a} + (-1)\vec{b}$

5. $\vec{EC} = \vec{EF} + \vec{FC} = \vec{a} + 2\vec{b} = 1\vec{a} + 2\vec{b}$

6. $\vec{AE} = \vec{AO} + \vec{OE} = -\vec{a} - \vec{b} = -2\vec{a} + (-1)\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1)

1. $\vec{a} = \vec{OA} = \vec{CB} = \vec{EF} = \vec{DO}$

2. $\vec{b} = \vec{ED} = \vec{FO} = \vec{OC} = \vec{AB}$

3. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{OB} = \vec{FA}$

4. $-2\vec{a} = \vec{AD}$

5. $\vec{a} - \vec{b} = \vec{CA} = \vec{DF}$

(2)

1. $\vec{BC} = -1\vec{a} + 0\vec{b}$

2. $\vec{FC} = 0\vec{a} + 2\vec{b}$

3. $\vec{OB} = 1\vec{a} + 1\vec{b}$

4. $\vec{CA} = 1\vec{a} + (-1)\vec{b}$

5. $\vec{EC} = 1\vec{a} + 2\vec{b}$

6. $\vec{AE} = -2\vec{a} -1\vec{b}$