画像に示された等式が正しいことを証明する問題です。具体的には、 $$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta} = \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}$$ を証明します。画像では、左辺と右辺をそれぞれ変形して、同じ形になることを示しています。

1. 問題の内容

画像に示された等式が正しいことを証明する問題です。具体的には、

$$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta} = \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}$$

を証明します。画像では、左辺と右辺をそれぞれ変形して、同じ形になることを示しています。

2. 解き方の手順

左辺を変形します。まず、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、分母は $1 + 2\sin\theta\cos\theta$ となります。分子は $\cos^2\theta - \sin^2\theta = (\cos\theta + \sin\theta)(\cos\theta - \sin\theta)$ と因数分解できます。また、分母は $(\sin\theta + \cos\theta)^2$ と変形できます。よって、左辺は

$$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta} = \frac{(\cos\theta + \sin\theta)(\cos\theta - \sin\theta)}{(\cos\theta + \sin\theta)^2} = \frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta}$$

となります。

次に、右辺を変形します。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いると、右辺は

$$\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} = \frac{1 - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{1 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{\frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta}$$

となります。

左辺と右辺が同じ形になったので、等式が成立することが証明されました。

3. 最終的な答え

$$\frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{1 + 2\sin\theta\cos\theta} = \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}$$

が成立する。