直角三角形ABCにおいて、$AB=6$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 45^\circ$である。 (3) $\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}$ を計算する。 (4) $\overrightarrow{CB}$ と $\overrightarrow{AB}$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$ を計算する。 (5) $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BA}$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}$ を計算する。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB=6$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 45^\circ$である。

(3) $\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}$ を計算する。

(4) $\overrightarrow{CB}$ と $\overrightarrow{AB}$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$ を計算する。

(5) $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BA}$ のなす角 $\theta$ を求め、内積 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(3) $\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角 $\theta$

$\angle BCA = 45^{\circ}$ なので、$\theta = 45^{\circ}$

内積 $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}$ の計算

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{BC}| |\overrightarrow{AC}| \cos \theta$

$= 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos 45^{\circ}$

$= 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= 36$

(4) $\overrightarrow{CB}$ と $\overrightarrow{AB}$ のなす角 $\theta$

$\angle ABC = 90^{\circ}$なので、$\overrightarrow{BA}$と$\overrightarrow{BC}$のなす角は$90^\circ$、$\overrightarrow{CB}$と$\overrightarrow{AB}$のなす角$\theta$は$90^\circ + 180^\circ = 270^\circ$, $\theta = 180^\circ -90^\circ=90+90=180+90=90+45=135$。

また $\overrightarrow{CB}$は$\overrightarrow{BC}$の逆向きのベクトルだから、$\angle CBA = 90^{\circ}$より、$\theta = 90+180=135^{\circ}$

内積 $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$ の計算

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{CB}| |\overrightarrow{AB}| \cos \theta$

$= 6 \cdot 6 \cdot \cos 135^{\circ}$

$= 36 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= -18\sqrt{2}$

(5) $\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BA}$ のなす角 $\theta$

$\angle BAC = 45^{\circ}$なので、$\theta = 180^{\circ} - 45^\circ = 135^\circ$

内積 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA}$ の計算

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BA}| \cos \theta$

$= 6\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos 135^{\circ}$

$= 36\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= -36$

3. 最終的な答え

(3) $\theta = 45^\circ$, $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = 36$

(4) $\theta = 135^\circ$, $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = -18\sqrt{2}$

(5) $\theta = 135^\circ$, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BA} = -36$