正六角形 ABCDEF において、中心を O、辺 CD を 2:1 に内分する点を P、辺 EF の中点を Q とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{CE}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{QP}$ をそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。

1. 問題の内容

正六角形 ABCDEF において、中心を O、辺 CD を 2:1 に内分する点を P、辺 EF の中点を Q とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AF} = \vec{b}$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{CE}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{QP}$ をそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$ で表せ。

2. 解き方の手順

正六角形 ABCDEF の各辺の長さは等しく、向かい合う辺は平行である。

$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$、$\overrightarrow{AF}=\vec{b}$であるから、

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AF}=\vec{b}$

$\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{a}$

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE})-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\vec{a}+\vec{b}+\vec{a}+(-\vec{b})-(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}-\vec{b}$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec{b}$

$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\vec{b}+\vec{a}= \vec{a}+\vec{b}$

点Pは辺CDを2:1に内分するので、$\overrightarrow{CP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CD} = \frac{1}{3} \vec{b}$

$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EQ} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP} = \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{b} = \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{b}$

$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ} = (\vec{a} + \frac{4}{3} \vec{b}) - (\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$

$\overrightarrow{EF}=-\vec{a}$

$\overrightarrow{CE}=\vec{a}-\vec{b}$

$\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$

$\overrightarrow{BD}=\vec{a}+\vec{b}$

$\overrightarrow{QP}=\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$