ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 3\sqrt{5}$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $|\vec{a} - \vec{b}| = 3\sqrt{5}$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、 $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算し、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた条件より、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$

$|\vec{a}|^2 = 2^2 = 4$

$|\vec{b}|^2 = 5^2 = 25$

これらを上の式に代入すると、

$45 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 25$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 + 25 - 45 = -16$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -8$

次に、$|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 2(-8) + 25 = 4 - 16 + 25 = 13$

したがって、

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -8$

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$