2点A$(a, b)$, B$(b, a)$が直線$y = x$に関して対称であることを示す。ただし、$a \neq b$とする。

1. 問題の内容

2点A$(a, b)$, B$(b, a)$が直線$y = x$に関して対称であることを示す。ただし、$a \neq b$とする。

2. 解き方の手順

2点A$(a, b)$, B$(b, a)$が直線$y = x$に関して対称であることを示すためには、以下の2点を示す必要がある。

* 点Aと点Bを結ぶ線分ABの中点が直線$y = x$上にある。

* 直線ABと直線$y = x$が垂直に交わる。

まず、点Aと点Bの中点Mの座標を求める。

中点Mの座標は

$$M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{b+a}{2}\right)$$

となる。

この中点Mの座標は、x座標とy座標が等しいので、確かに直線$y = x$上にある。

次に、直線ABの傾きを求める。

直線ABの傾きは

$$\frac{a-b}{b-a} = -1$$

となる。

直線$y = x$の傾きは1である。

2直線の傾きの積は$(-1) \times 1 = -1$なので、直線ABと直線$y = x$は垂直に交わる。

以上の2点より、2点A$(a, b)$, B$(b, a)$は直線$y = x$に関して対称であることが示された。

3. 最終的な答え

2点A$(a, b)$, B$(b, a)$は直線$y = x$に関して対称である。