長さ2の線分OAを直径とする円の任意の接線に、Oから下ろした垂線とその接線の交点をPとする。Oを極、半直線OAを始線としたときの点Pの軌跡の極方程式を求める。

1. 問題の内容

長さ2の線分OAを直径とする円の任意の接線に、Oから下ろした垂線とその接線の交点をPとする。Oを極、半直線OAを始線としたときの点Pの軌跡の極方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、線分OAをx軸、Oを原点とする直交座標系を考える。

円の中心をCとすると、Cの座標は(1,0)である。円の半径は1であるから、円の方程式は

$(x-1)^2 + y^2 = 1$

すなわち、

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$

$x^2 + y^2 = 2x$

円上の任意の点を(2cos$^2$θ, sin2θ)と表すことができる。

この点における接線の方程式は、

$2\cos^2\theta x + \sin2\theta y = 2\cos\theta$となる。

原点Oからこの接線に下ろした垂線の方程式は、

$\sin2\theta x - 2\cos^2\theta y = 0$

2つの式を連立して解く。

$2\cos^2\theta x + \sin2\theta y = 2\cos\theta$

$\sin2\theta x - 2\cos^2\theta y = 0$

から

$x = \frac{2\cos\theta}{2\cos^2\theta + \sin^2 2\theta} 2\cos^2\theta = \frac{4\cos^3\theta}{2\cos^2\theta + 4\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{2\cos\theta}{1+2\sin^2\theta}$

$y = \frac{2\cos\theta}{2\cos^2\theta + \sin^2 2\theta} \sin2\theta = \frac{2\cos\theta \sin2\theta}{2\cos^2\theta + 4\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta 2\cos\theta}{2\cos^2\theta + 4\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta}{1+2\sin^2\theta}$

ここで、$r^2 = x^2+y^2$なので、

$r^2 = \frac{4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta}{(1+2\sin^2\theta)^2}$

$r^2 = \frac{4}{(1+2\sin^2\theta)^2}$

$r = \frac{2}{1+2\sin^2\theta}$

$r = \frac{2}{1+2(1-\cos^2\theta)}$

$r = \frac{2}{3-2\cos^2\theta}$

$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$とすると、

$\cos\theta = \frac{x}{r}$

$\sin\theta = \frac{y}{r}$

極座標での表示は、$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$である。

$x^2 + y^2 = 2x$より

$r^2 = 2r\cos\theta$

$r = 2\cos\theta$

3. 最終的な答え

$r = 2\cos\theta$