直線 $l: y = ax - 3a + 4$ と円 $C: x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ について、以下の問いに答える。 (1) 直線 $l$ が $a$ の値に関わらず通る定点Pの座標を求める。 (2) 直線 $l$ と円 $C$ の共有点の個数を求める。 (3) 円 $C$ が直線 $l$ と2点で交わり、円 $C$ によって切り取られる線分の長さが1であるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = ax - 3a + 4$ と円 $C: x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ について、以下の問いに答える。

(1) 直線 $l$ が $a$ の値に関わらず通る定点Pの座標を求める。

(2) 直線 $l$ と円 $C$ の共有点の個数を求める。

(3) 円 $C$ が直線 $l$ と2点で交わり、円 $C$ によって切り取られる線分の長さが1であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式を $a$ について整理する。

$y = ax - 3a + 4$

$y = a(x - 3) + 4$

$a$ の値に関わらずこの式が成り立つためには、$x - 3 = 0$ かつ $y = 4$ である必要がある。

よって、$x = 3$、$y = 4$。

(2) 円 $C$ の式を平方完成する。

$x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1 + 1$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$

円 $C$ の中心は $(1, 1)$、半径は $\sqrt{2}$ である。

直線 $l$ の式を $ax - y - 3a + 4 = 0$ と変形する。

円の中心と直線の距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|a(1) - (1) - 3a + 4|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

共有点の個数は、$d < \sqrt{2}$ のとき2個、$d = \sqrt{2}$ のとき1個、$d > \sqrt{2}$ のとき0個となる。

$d < \sqrt{2}$ を解く。

$\frac{|-2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 1}} < \sqrt{2}$

$(-2a + 3)^2 < 2(a^2 + 1)$

$4a^2 - 12a + 9 < 2a^2 + 2$

$2a^2 - 12a + 7 < 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 56}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{88}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{22}}{4} = 3 \pm \frac{\sqrt{22}}{2}$

よって、$3 - \frac{\sqrt{22}}{2} < a < 3 + \frac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は2個。

$d = \sqrt{2}$ を解く。

$2a^2 - 12a + 7 = 0$

$a = 3 \pm \frac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は1個。

$d > \sqrt{2}$ を解く。

$a < 3 - \frac{\sqrt{22}}{2}$ または $a > 3 + \frac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は0個。

(3) 円の中心から直線に下ろした垂線の足をHとする。

弦の長さを2等分するので、弦の半分は $\frac{1}{2}$。

円の半径は $\sqrt{2}$。

三平方の定理より、

$d^2 + (\frac{1}{2})^2 = (\sqrt{2})^2$

$d^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

$d = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$\frac{|-2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$4(-2a + 3)^2 = 7(a^2 + 1)$

$4(4a^2 - 12a + 9) = 7a^2 + 7$

$16a^2 - 48a + 36 = 7a^2 + 7$

$9a^2 - 48a + 29 = 0$

$a = \frac{48 \pm \sqrt{48^2 - 4(9)(29)}}{18} = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 1044}}{18} = \frac{48 \pm \sqrt{1260}}{18} = \frac{48 \pm 6\sqrt{35}}{18} = \frac{8 \pm \sqrt{35}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 定点Pの座標は $(3, 4)$。

(2) $3 - \frac{\sqrt{22}}{2} < a < 3 + \frac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は2個。

$a = 3 \pm \frac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は1個。

$a < 3 - \frac{\sqrt{22}}{2}$ または $a > 3 + \frac{\sqrt{22}}{2}$ のとき共有点は0個。

(3) $a = \frac{8 \pm \sqrt{35}}{3}$