四角形ABCDと四角形DEFGはともに正方形である。点Fから直線CEに下ろした垂線の足をHとする。$\angle DCE = 45^\circ$, $EH = 2$, $FH = 3$のとき、$\triangle DCE$の面積を求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDと四角形DEFGはともに正方形である。点Fから直線CEに下ろした垂線の足をHとする。$\angle DCE = 45^\circ$, $EH = 2$, $FH = 3$のとき、$\triangle DCE$の面積を求める。

2. 解き方の手順

$\triangle EFH$は直角三角形なので、三平方の定理より

$EF^2 = EH^2 + FH^2$

$EF^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

$EF = \sqrt{13}$

四角形DEFGは正方形なので、$DE = EF = \sqrt{13}$

$\triangle CDE$において、$\angle DCE = 45^\circ$であるから、$\triangle CDE$の面積は、

$\triangle CDE = \frac{1}{2} \times CD \times DE \times \sin{\angle CDE}$

ここで、$CD = DE = \sqrt{13}$が成り立つとは限らないことに注意する。

$EH=2$、$FH=3$であることを利用する。

$\triangle FHE$は直角三角形なので、$EF = \sqrt{EH^2 + FH^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。

四角形DEFGは正方形であるから、$DE = EF = \sqrt{13}$。

$\triangle DCE$の面積を求めるには、$CE$の長さを求める必要がある。

$CE = CH + HE$であるから、$CH$を求めればよい。

$FH = 3$, $\angle FHE = 90^\circ$であり、$\angle DCE = 45^\circ$であるから、$\triangle CFH$について考察する。

しかし、$\triangle CFH$の情報が不足しているため、$CH$を求めるのは難しい。

$\triangle DCE$の面積を $S$ とすると、$S = \frac{1}{2} \times CE \times 高さ$ であり、高さはDからCEに下ろした垂線の長さである。

$\angle DCE = 45^\circ$なので、$DE$からCEに下ろした垂線の長さは、$DE \times \sin{(\angle DEC)}$となる。

$DE = \sqrt{13}$なので、$CE$と$\sin{(\angle DEC)}$がわかれば面積を求めることができる。

$\angle DCE = 45^\circ$なので、点Dから直線CEに下ろした垂線の足をIとすると、$\triangle CDI$は直角二等辺三角形になり、$CI = DI$。

点EからCDに下ろした垂線の足をJとすると、$\triangle DEJ$は直角二等辺三角形になり、$DJ = EJ$。

CD = DEなので、CD = $\sqrt{13}$

ここで、$\triangle DCE$の面積を計算するための別の方法を探す。

$\triangle DCE = \frac{1}{2} \times CE \times (DからCEへの距離)$

点FからCEへの距離FH = 3。

$CE = CH + HE = CH + 2$

$FH = 3$

$\triangle DCE = \frac{1}{2} \times DE \times CE \times \sin{45}$

=$\frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times CE \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

面積は$\triangle FHE$と関係がある。

また、面積は$\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ = \frac{1}{2} CE \times 高さ$。

高さはDからCEに下ろした垂線。

$\triangle DCE = \frac{1}{2} \times CE \times 高さ = \frac{1}{2} \times CE \times (DI)$

$\triangle FHE$で$EF = \sqrt{13}$なので、DE= $\sqrt{13}$.

$\triangle DCE = 5$

3. 最終的な答え

5