右図のような正方形ABCDにおいて、対角線BD上に点Eがあり、線分AEの延長と辺CDとの交点をFとする。 (1) $\angle BCE = \angle AFD$ であることを証明する。 (2) $\angle DAF = 24^\circ$ のとき、$\angle BEC$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

右図のような正方形ABCDにおいて、対角線BD上に点Eがあり、線分AEの延長と辺CDとの交点をFとする。

(1) $\angle BCE = \angle AFD$ であることを証明する。

(2) $\angle DAF = 24^\circ$ のとき、$\angle BEC$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\angle BCE = \angle AFD$ の証明

まず、$\triangle ABE$ と $\triangle ADE$ について考える。

AB = AD (正方形の辺)

$\angle ABE = \angle ADE = 45^\circ$ (対角線BD)

AE = AE (共通)

よって、$\triangle ABE \equiv \triangle ADE$ (二辺夾角相等)

したがって、$\angle BAE = \angle DAE$

次に、$\triangle ADF$ において、

$\angle DAF + \angle AFD + \angle ADF = 180^\circ$ (三角形の内角の和)

$\angle ADF = 90^\circ$ であるから、

$\angle DAF + \angle AFD = 90^\circ$

$\angle AFD = 90^\circ - \angle DAF$

一方、$\triangle ABCE$ において、

$\angle BCE + \angle CBE + \angle BEC = 180^\circ$ (三角形の内角の和)

$\angle CBE = 90^\circ$ であるから、

$\angle BCE + \angle BAC = 90^\circ$

$\angle BCE = 90^\circ - \angle BAC$

$\angle DAF = \angle BAC$

$\angle BCE = 90^\circ - \angle BAC$　　　(1)

$\angle AFD = 90^\circ - \angle DAF$　　　(2)

仮定より、$\angle DAF = \angle BAC$ であるから、(1)(2)式より、

$\angle BCE = \angle AFD$

(2) $\angle DAF = 24^\circ$ のとき、$\angle BEC$ の大きさを求める。

$\angle DAF = 24^\circ$ より、$\angle BAC = 24^\circ$である。

$\angle BAE = \angle DAE$である。

$\angle DAE = \angle BAE = \frac{45^\circ - \angle DAF}{2}$

$\angle DAE = (45^\circ-24^\circ)/2 = 21^\circ/2 = 10.5^\circ$

$\angle BAE = 10.5^\circ$

$\angle BEC = \angle AEB$

$\angle ABE = 45^\circ$

$\angle BAE = 10.5^\circ$

$\angle BEC = 180^\circ - (45^\circ + 10.5^\circ)$

$\angle BEC = 180^\circ - 55.5^\circ$

$\angle BEC = 124.5^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BCE = \angle AFD$ (証明終わり)

(2) $\angle BEC = 124.5^\circ$