$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $C$、$3:1$ に外分する点を $D$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。

## (11)の問題

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $C$、$3:1$ に外分する点を $D$ とするとき、ベクトル $\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

点Dは辺ABを3:1に外分するので、

$\overrightarrow{AD} = 3 \overrightarrow{DB}$

$\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = 3(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OD})$

$\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OD}$

$4\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$

よって、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$

## (12)の問題

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2,3)$、$\vec{b} = (5,1)$ に対して、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、内積の定義より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

まず内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(5) + (3)(1) = 10 + 3 = 13$

次に、$|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算する。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$

したがって、

$\cos \theta = \frac{13}{\sqrt{13} \sqrt{26}} = \frac{13}{\sqrt{13} \sqrt{2} \sqrt{13}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ （または $45^\circ$）

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$ (または $45^\circ$)