底面の半径が 8cm、母線の長さが 12cm である円錐について、(1) 表面積を求める問題と、(2) この円錐の展開図において、側面のおうぎ形の中心角の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

底面の半径が 8cm、母線の長さが 12cm である円錐について、(1) 表面積を求める問題と、(2) この円錐の展開図において、側面のおうぎ形の中心角の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 表面積を求める

円錐の表面積は、底面積と側面積の和で求められます。

* 底面積: 半径が 8cm の円の面積なので、$8^2 \times \pi = 64\pi$ cm$^2$

* 側面積: 母線の長さが 12cm、底面の円周の長さが $2 \times \pi \times 8 = 16\pi$ cm なので、側面積は $\frac{1}{2} \times 12 \times 16\pi = 96\pi$ cm$^2$ です。

* 表面積: $64\pi + 96\pi = 160\pi$ cm$^2$

(2) 側面のおうぎ形の中心角の大きさを求める

側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周の長さと等しいです。

おうぎ形の半径は母線の長さ 12cm です。

中心角を $\theta$ とすると、おうぎ形の弧の長さは $2\pi \times 12 \times \frac{\theta}{360}$ と表せます。これが底面の円周の長さ $16\pi$ に等しいので、

$$2\pi \times 12 \times \frac{\theta}{360} = 16\pi$$

$\pi$ で割って、

$$2 \times 12 \times \frac{\theta}{360} = 16$$

$$24 \times \frac{\theta}{360} = 16$$

$$\frac{\theta}{360} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$$

$$\theta = \frac{2}{3} \times 360 = 240$$

したがって、中心角は 240 度です。

3. 最終的な答え

(1) 表面積: $160\pi$ cm$^2$

(2) 中心角の大きさ: 240 度