2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$、それぞれのベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$、および $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める問題です。各問題は2次元または3次元のベクトルで与えられています。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それらの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$、それぞれのベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$、および $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を二辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求める問題です。各問題は2次元または3次元のベクトルで与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の計算:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

(2) $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ の計算:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

(3) $\cos \theta$ の計算:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

(4) 平行四辺形の面積 $S$ の計算:

$S = |\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

または、2次元ベクトルの場合、$S = |a_1b_2 - a_2b_1|$

以下、各問題に対する解答を示します。

(1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (-1)(2) = 6 - 2 = 4$

* $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

* $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

* $\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5}\sqrt{13}} = \frac{4}{\sqrt{65}}$

* $S = |(2)(2) - (-1)(3)| = |4 + 3| = 7$

(2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

* $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2)(3) + (4)(1) = -6 + 4 = -2$

* $|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

* $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

* $\cos \theta = \frac{-2}{2\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

* $S = |(-2)(1) - (4)(3)| = |-2 - 12| = |-14| = 14$

(3) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

* $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(2) + (1)(-4) + (4)(3) = -6 - 4 + 12 = 2$

* $|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$

* $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

* $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{26}\sqrt{29}} = \frac{2}{\sqrt{754}}$

* $S = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \sqrt{(26)(29) - (2)^2} = \sqrt{754 - 4} = \sqrt{750} = 5\sqrt{30}$

(4) $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3\sqrt{2} \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

* $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(2\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})(1) + (4)(0) = -2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

* $|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (3\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 18 + 16} = \sqrt{35}$

* $|\vec{b}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{8 + 1 + 0} = \sqrt{9} = 3$

* $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{70}}{105}$

* $S = \sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \sqrt{(35)(9) - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{315 - 2} = \sqrt{313}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$

$|\vec{a}| = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{13}$

$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{65}}$

$S = 7$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

$|\vec{a}| = 2\sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{10}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

$S = 14$

(3)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$

$|\vec{a}| = \sqrt{26}$

$|\vec{b}| = \sqrt{29}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{754}}$

$S = 5\sqrt{30}$

(4)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{35}$

$|\vec{b}| = 3$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{70}}{105}$

$S = \sqrt{313}$