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$\vert \overrightarrow{OB} \vert = 4$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 6$ とする。三角形OABの面積が $\frac{1}{2} \sqrt{\vert \overrightarrow{OA} \vert^2 \vert \overrightarrow{OB} \vert^2 - (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})^2}$ と表されることを用いて、三角形OABの面積、ベクトル $\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{OB}$ を計算し、$k$の値を求める。さらに、三角形BEFの面積が与えられたとき、$\vert \overrightarrow{OA} \vert$ を求める。

幾何学ベクトル面積内積
2025/4/20

1. 問題の内容

∣OB→∣=4\vert \overrightarrow{OB} \vert = 4, OA→⋅OB→=6\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 6 とする。三角形OABの面積が 12∣OA→∣2∣OB→∣2−(OA→⋅OB→)2\frac{1}{2} \sqrt{\vert \overrightarrow{OA} \vert^2 \vert \overrightarrow{OB} \vert^2 - (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})^2} と表されることを用いて、三角形OABの面積、ベクトル CF→⋅OB→\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{OB} を計算し、kkの値を求める。さらに、三角形BEFの面積が与えられたとき、∣OA→∣\vert \overrightarrow{OA} \vert を求める。

2. 解き方の手順

* **三角形OABの面積を求める**
三角形OABの面積は、12∣OA→∣2∣OB→∣2−(OA→⋅OB→)2\frac{1}{2} \sqrt{\vert \overrightarrow{OA} \vert^2 \vert \overrightarrow{OB} \vert^2 - (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})^2} で与えられます。
∣OB→∣=4\vert \overrightarrow{OB} \vert = 4, OA→⋅OB→=6\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 6 を代入すると、
12∣OA→∣2×42−62=1216∣OA→∣2−36=124(4∣OA→∣2−9)=4∣OA→∣2−9\frac{1}{2} \sqrt{\vert \overrightarrow{OA} \vert^2 \times 4^2 - 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 \vert \overrightarrow{OA} \vert^2 - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{4(4 \vert \overrightarrow{OA} \vert^2 - 9)} = \sqrt{4 \vert \overrightarrow{OA} \vert^2 - 9}.
* **CF→⋅OB→\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{OB} を求める**
OF→=kOB→\overrightarrow{OF} = k \overrightarrow{OB} より、
CF→=OF→−OC→=kOB→−OA→\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OC} = k \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}.
よって、CF→⋅OB→=(kOB→−OA→)⋅OB→=k∣OB→∣2−OA→⋅OB→=16k−6\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{OB} = (k \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot \overrightarrow{OB} = k \vert \overrightarrow{OB} \vert^2 - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 16k - 6.
* **kkの値を求める**
CF→⊥OB→\overrightarrow{CF} \perp \overrightarrow{OB} であるとき、CF→⋅OB→=0\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{OB} = 0 である。
16k−6=016k - 6 = 0 より、k=616=38k = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}.
* **∣OA→∣\vert \overrightarrow{OA} \vert を求める**
OF→=38OB→\overrightarrow{OF} = \frac{3}{8} \overrightarrow{OB}である。
三角形BEFの面積 = 334\frac{3\sqrt{3}}{4}
三角形BEFの面積 = 12∣BE∣∣BF∣sinθ\frac{1}{2} |BE||BF|sin\theta
BE=OE-OB = 12OA−OB\frac{1}{2}OA-OB
BF=OF−OB=38OB−OB=−58OBBF=OF-OB = \frac{3}{8}OB-OB = -\frac{5}{8}OB
面積 = 12∣12OA−OB∣∣−58OB∣sinθ=516∣12OA−OB∣∣OB∣sinθ\frac{1}{2} |\frac{1}{2}OA-OB||-\frac{5}{8}OB|sin\theta = \frac{5}{16}|\frac{1}{2}OA-OB||OB|sin\theta
別の方法：
三角形OBEの面積 = 12\frac{1}{2} 三角形OABの面積
三角形OBFの面積 = 38\frac{3}{8} 三角形OABの面積
三角形BEFの面積 = 三角形OBEの面積 - 三角形OBFの面積 = (12−38)(\frac{1}{2}-\frac{3}{8}) 三角形OABの面積 = 18\frac{1}{8}三角形OABの面積
184∣OA→∣2−9=334\frac{1}{8} \sqrt{4 \vert \overrightarrow{OA} \vert^2 - 9} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}
4∣OA→∣2−9=63\sqrt{4 \vert \overrightarrow{OA} \vert^2 - 9} = 6\sqrt{3}
4∣OA→∣2−9=36×3=1084 \vert \overrightarrow{OA} \vert^2 - 9 = 36 \times 3 = 108
4∣OA→∣2=1174 \vert \overrightarrow{OA} \vert^2 = 117
∣OA→∣2=1174\vert \overrightarrow{OA} \vert^2 = \frac{117}{4}
∣OA→∣=1172=3132\vert \overrightarrow{OA} \vert = \frac{\sqrt{117}}{2} = \frac{3\sqrt{13}}{2}.

3. 最終的な答え

* ス: 4, セ: 9
* ソタ: 16, チ: 6
* ツ: 0
* テ: 3, ト: 8
* ナ: 3132\frac{3\sqrt{13}}{2}

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