楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線 $l$ について、以下の問いに答える。 (1) $y_1 \neq 0$ のとき、接線 $l$ の傾きを点 $P$ の座標を用いて表す。 (2) 接線 $l$ の方程式を求める。ただし、$y_1 \neq 0$ のときと $y_1 = 0$ のときで場合分けして答える。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線 $l$ について、以下の問いに答える。

(1) $y_1 \neq 0$ のとき、接線 $l$ の傾きを点 $P$ の座標を用いて表す。

(2) 接線 $l$ の方程式を求める。ただし、$y_1 \neq 0$ のときと $y_1 = 0$ のときで場合分けして答える。

2. 解き方の手順

(1) 楕円の方程式 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right) = \frac{d}{dx} (1)$

$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x}{y}$

点 $P(x_1, y_1)$ における接線の傾きは、上記の式に $x=x_1$、$y=y_1$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} \Big|_{P} = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x_1}{y_1}$

(2) 接線 $l$ の方程式を求める。

(i) $y_1 \neq 0$ のとき

接線の方程式は、$y - y_1 = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x_1}{y_1} (x - x_1)$

$y y_1 - y_1^2 = -\frac{b^2}{a^2} x x_1 + \frac{b^2}{a^2} x_1^2$

$\frac{b^2}{a^2} x x_1 + y y_1 = \frac{b^2}{a^2} x_1^2 + y_1^2$

両辺を $b^2$ で割ると、

$\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2}$

点 $P(x_1, y_1)$ は楕円上の点であるから、$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ が成り立つ。

したがって、接線の方程式は $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$

(ii) $y_1 = 0$ のとき

$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ より、$\frac{x_1^2}{a^2} = 1$ なので、$x_1 = \pm a$ である。

このとき、接線は $x = \pm a$ である。

これは $\frac{x (\pm a)}{a^2} + \frac{y \cdot 0}{b^2} = 1$ と書けるので $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$ と同じ形になる。

3. 最終的な答え

(1) 接線 $l$ の傾き: $-\frac{b^2}{a^2} \frac{x_1}{y_1}$

(2) 接線 $l$ の方程式: $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1$