$a, b$ を正の定数とする。楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線を $l$ とする。 (1) $y_1 \neq 0$ のとき、$l$ の傾きを点 $P$ の座標を用いて表しなさい。 (2) $l$ の方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

$a, b$ を正の定数とする。楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線を $l$ とする。

(1) $y_1 \neq 0$ のとき、$l$ の傾きを点 $P$ の座標を用いて表しなさい。

(2) $l$ の方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$$

$$\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{y} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$$

点 $P(x_1, y_1)$ における接線の傾きは、

$$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=x_1, y=y_1} = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$$

(2) 点 $P(x_1, y_1)$ における接線 $l$ の方程式は、

$$y - y_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} (x - x_1)$$

$$a^2 y_1 (y - y_1) = -b^2 x_1 (x - x_1)$$

$$a^2 y_1 y - a^2 y_1^2 = -b^2 x_1 x + b^2 x_1^2$$

$$b^2 x_1 x + a^2 y_1 y = b^2 x_1^2 + a^2 y_1^2$$

両辺を $a^2 b^2$ で割ると、

$$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2}$$

点 $P(x_1, y_1)$ は楕円上の点なので、$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$。よって、

$$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$

3. 最終的な答え

(1) $l$ の傾き: $-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$

(2) $l$ の方程式: $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$