三角形ABCの内心Iから、辺BC, CA, ABにそれぞれ垂線IL, IM, INを引く。このとき、Iは三角形LMNについてどのような点か。

1. 問題の内容

三角形ABCの内心Iから、辺BC, CA, ABにそれぞれ垂線IL, IM, INを引く。このとき、Iは三角形LMNについてどのような点か。

2. 解き方の手順

Iは三角形ABCの内心であるから、

$IL = IM = IN = r$ （rは内接円の半径）

よって、点IはL, M, Nから等距離にある。

角AIMと角AINはどちらも直角だから、四角形AMINはAを中心とする円に内接する。

したがって、

$\angle MIN = 180^\circ - \angle A$

同様に、$\angle NIL = 180^\circ - \angle B$, $\angle LIM = 180^\circ - \angle C$

$I$は三角形$LMN$の内角を二等分する直線の交点である。すなわち、

$I$は三角形$LMN$の内心である。

3. 最終的な答え

Iは三角形LMNの内心である。