与えられた式 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{a^2} = 1$ において、$y_1 = 0$ のとき、なぜ $x_1 = \pm a$ と言えるのかを説明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{a^2} = 1$ において、$y_1 = 0$ のとき、なぜ $x_1 = \pm a$ と言えるのかを説明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式に $y_1 = 0$ を代入します。

$\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{0 \cdot y}{a^2} = 1$

$\frac{x_1 x}{a^2} = 1$

次に、$x_1 x = a^2$ が得られます。

この式から、$x_1 = \frac{a^2}{x}$ であることがわかります。

ここで、問題文の表現がやや曖昧な点があります。もし、問題文が、楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ で、$y_1=0$のとき、接点が$(\pm a, 0)$となることを示したいのであれば、以下のようになります。

与えられた式は $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ であり、$y_1 = 0$ を代入すると、

$\frac{x_1 x}{a^2} = 1$ となります。

ここで、$y_1 = 0$ のとき、接点はx軸上にあります。楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1, 0)$ における接線は、$\frac{x_1 x}{a^2} = 1$ となります。

この接線が楕円と接するのは、$x_1 = \pm a$ のときのみです。なぜなら、楕円のx軸との交点は $(\pm a, 0)$ であり、x軸上の点における接線は、$x=\pm a$ となるからです。よって、$x_1 = \pm a$となります。

元の質問の式では、$b=a$とおいた円に対する接線の方程式になっています。この場合は、$y_1 = 0$ のとき、接点が $x$軸上にあることを意味します。接線の方程式 $\frac{x_1 x}{a^2}=1$ より、$x = \frac{a^2}{x_1}$ となります。

$x$軸との交点は、円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ において、$y=0$を代入すると、$x^2=a^2$より、$x=\pm a$となります。つまり接点が $(\pm a, 0)$ であるときに、$y_1=0$となるので、$x_1 = \pm a$となります。

3. 最終的な答え

$x_1 = \pm a$