(1) 底面の半径が3cm、高さが$3\sqrt{3}$cmの円錐について、表面積と体積を求める。 (2) 半径2cmの球について、表面積と体積を求める。

1. 問題の内容

(1) 底面の半径が3cm、高さが$3\sqrt{3}$cmの円錐について、表面積と体積を求める。

(2) 半径2cmの球について、表面積と体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

① 円錐の表面積を求める。

円錐の表面積は、底面積 + 側面積 で求められる。

底面積は、半径3cmの円なので、$\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$

側面積は、$\pi \times r \times l$ で求められる。ここで、$r$は底面の半径、$l$は母線の長さである。

母線の長さ$l$は、三平方の定理より、$l = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ cm

側面積は、$\pi \times 3 \times 6 = 18\pi$ cm$^2$

したがって、表面積は、$9\pi + 18\pi = 27\pi$ cm$^2$

② 円錐の体積を求める。

円錐の体積は、$\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求められる。

底面積は、$9\pi$ cm$^2$、高さは、$3\sqrt{3}$cmなので、

体積は、$\frac{1}{3} \times 9\pi \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi$ cm$^3$

(2)

① 球の表面積を求める。

球の表面積は、$4\pi r^2$ で求められる。ここで、$r$は半径である。

半径は2cmなので、表面積は、$4\pi \times 2^2 = 16\pi$ cm$^2$

② 球の体積を求める。

球の体積は、$\frac{4}{3}\pi r^3$ で求められる。ここで、$r$は半径である。

半径は2cmなので、体積は、$\frac{4}{3}\pi \times 2^3 = \frac{32}{3}\pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1)

① 表面積: $27\pi$ cm$^2$

② 体積: $9\sqrt{3}\pi$ cm$^3$

(2)

① 表面積: $16\pi$ cm$^2$

② 体積: $\frac{32}{3}\pi$ cm$^3$