(1) 2点A(1, 3), B(6, 1)を端点とする線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。 (2) 2直線2x + 3y + 2 = 0, x + 2y + 3 = 0の交点を通り、傾きが2である直線の方程式を求めよ。 (3) 座標平面上の3点(0, 0), (3, 3), (1, a)を頂点とする三角形の面積が9であるとき、aの値を求めよ。 (4) 座標平面上に4点A(a, b), B(-1, 0), C(2, 1), D(0, 2)がある。 [1] 点Dが三角形ABCの重心となるとき, a, bの値を求めよ。 [2] 三角形ABCにおいて∠B = 90°で、点Dが辺AC上にあるとき、a, bの値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2点A(1, 3), B(6, 1)を端点とする線分ABの垂直二等分線の方程式を求めよ。

(2) 2直線2x + 3y + 2 = 0, x + 2y + 3 = 0の交点を通り、傾きが2である直線の方程式を求めよ。

(3) 座標平面上の3点(0, 0), (3, 3), (1, a)を頂点とする三角形の面積が9であるとき、aの値を求めよ。

(4) 座標平面上に4点A(a, b), B(-1, 0), C(2, 1), D(0, 2)がある。

[1] 点Dが三角形ABCの重心となるとき, a, bの値を求めよ。

[2] 三角形ABCにおいて∠B = 90°で、点Dが辺AC上にあるとき、a, bの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

線分ABの中点の座標は、(($1 + 6)/2$, $(3 + 1)/2$) = (7/2, 2)。

線分ABの傾きは、$(1 - 3)/(6 - 1) = -2/5$。

垂直二等分線の傾きは、$-2/5$の逆数に-1をかけたものなので、5/2。

よって、垂直二等分線の方程式は、$y - 2 = (5/2)(x - 7/2)$。

(2)

2直線 $2x + 3y + 2 = 0$ と $x + 2y + 3 = 0$ の交点を求める。

$2x + 3y + 2 = 0$ を2倍すると、$2x + 4y + 6 = 0$

($2x + 4y + 6 = 0$) - ($2x + 3y + 2 = 0$)より、$y + 4 = 0$。よって、$y = -4$。

$x + 2(-4) + 3 = 0$より、$x - 8 + 3 = 0$。よって、$x = 5$。

交点の座標は(5, -4)。

傾きが2で(5, -4)を通る直線の方程式は、$y - (-4) = 2(x - 5)$。

(3)

3点(0, 0), (3, 3), (1, a)を頂点とする三角形の面積は、

$| (3 \cdot a - 3 \cdot 1) / 2 | = | (3a - 3) / 2 | = 9$

$| 3a - 3 | = 18$

$3a - 3 = 18$ または $3a - 3 = -18$

$3a = 21$ または $3a = -15$

$a = 7$ または $a = -5$

(4)

[1]

点D(0, 2)が三角形ABCの重心であるとき、

重心の座標は(($a - 1 + 2)/3$, ($b + 0 + 1)/3$) = (0, 2)。

$(a + 1)/3 = 0$ より、$a + 1 = 0$。よって、$a = -1$。

$(b + 1)/3 = 2$ より、$b + 1 = 6$。よって、$b = 5$。

[2]

∠B = 90°なので、ベクトルBAとベクトルBCの内積は0。

ベクトルBA = (a - (-1), b - 0) = (a + 1, b)

ベクトルBC = (2 - (-1), 1 - 0) = (3, 1)

(a + 1) * 3 + b * 1 = 0

3a + 3 + b = 0

b = -3a - 3

点D(0, 2)が辺AC上にあるので、ベクトルAD = k * ベクトルAC (kは実数)

ベクトルAD = (0 - a, 2 - b) = (-a, 2 - b)

ベクトルAC = (2 - a, 1 - b)

(-a, 2 - b) = k * (2 - a, 1 - b)

-a = k(2 - a)

2 - b = k(1 - b)

k = -a / (2 - a) = (2 - b) / (1 - b)

-a(1 - b) = (2 - b)(2 - a)

-a + ab = 4 - 2a - 2b + ab

-a = 4 - 2a - 2b

a + 2b = 4

b = -3a - 3を代入する。

a + 2(-3a - 3) = 4

a - 6a - 6 = 4

-5a = 10

a = -2

b = -3(-2) - 3 = 6 - 3 = 3

3. 最終的な答え

(1) $y - 2 = (5/2)(x - 7/2)$ または $5x - 2y - 31/2 = 0$ または $10x - 4y - 31 = 0$

(2) $y + 4 = 2(x - 5)$ または $y = 2x - 14$

(3) $a = 7, -5$

(4) [1] $a = -1, b = 5$

[2] $a = -2, b = 3$