円 $C: x^2 + y^2 + ax - ay - a - 13 = 0$ が与えられたとき、 (1) 円 $C$ の中心の座標と半径を求める。 (2) $a$ の値にかかわらず円 $C$ が通る2点 $A, B$ の座標を求め、線分 $AB$ が円 $C$ の直径となる $a$ の値を求める。 (3) 円 $C$ と直線 $y = -x + 7$ が接するときの $a$ の値を求め、さらにそのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 + ax - ay - a - 13 = 0$ が与えられたとき、

(1) 円 $C$ の中心の座標と半径を求める。

(2) $a$ の値にかかわらず円 $C$ が通る2点 $A, B$ の座標を求め、線分 $AB$ が円 $C$ の直径となる $a$ の値を求める。

(3) 円 $C$ と直線 $y = -x + 7$ が接するときの $a$ の値を求め、さらにそのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の方程式を平方完成する。

$x^2 + ax + y^2 - ay - a - 13 = 0$

$(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + (y - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - a - 13 = 0$

$(x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{2} + a + 13$

中心の座標は $(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ である。

半径は $\sqrt{\frac{a^2 + 2a + 26}{2}} = \sqrt{\frac{a^2 + 2a + 26}{2}}$ である。

(2) $a$ の値にかかわらず円 $C$ が通る2点を求める。

$x^2 + y^2 - 13 + a(x - y - 1) = 0$

これは $x^2 + y^2 - 13 = 0$ と $x - y - 1 = 0$ の交点である。

$y = x - 1$ を $x^2 + y^2 - 13 = 0$ に代入して

$x^2 + (x - 1)^2 - 13 = 0$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 - 13 = 0$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

$x = 3$ のとき $y = 3 - 1 = 2$

$x = -2$ のとき $y = -2 - 1 = -3$

$A(3, 2), B(-2, -3)$ である。

線分 $AB$ が円 $C$ の直径となるとき、円の中心は線分 $AB$ の中点である。

$AB$ の中点は $(\frac{3 - 2}{2}, \frac{2 - 3}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

円の中心 $(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ より

$-\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ かつ $\frac{a}{2} = -\frac{1}{2}$

$a = -1$ である。

(3) 円 $C$ と直線 $y = -x + 7$ が接するとき、円の中心と直線の距離が半径に等しい。

$\frac{|-\frac{a}{2} - \frac{a}{2} - 7|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + 2a + 26}{2}}$

$\frac{|-a - 7|}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{a^2 + 2a + 26}{2}}$

$\frac{(a + 7)^2}{2} = \frac{a^2 + 2a + 26}{2}$

$(a + 7)^2 = a^2 + 2a + 26$

$a^2 + 14a + 49 = a^2 + 2a + 26$

$12a = -23$

$a = -\frac{23}{12}$

計算ミスがあるようなので、再計算します。

$\frac{|-a-7|}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{a^2+2a+26}{2}}$

$(-a-7)^2=a^2+2a+26$

$a^2+14a+49=a^2+2a+26$

$12a=-23$

$a=-\frac{23}{12}$

これは間違い。再度確認。

円と直線が接するので、判別式 $D=0$.

$x^2+(-x+7)^2+ax-a(-x+7)-a-13=0$

$x^2+x^2-14x+49+ax+ax-7a-a-13=0$

$2x^2+(2a-14)x+36-8a=0$

$x^2+(a-7)x+18-4a=0$

$D=(a-7)^2-4(18-4a)=0$

$a^2-14a+49-72+16a=0$

$a^2+2a-23=0$

$a=\frac{-2\pm\sqrt{4+92}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{-2\pm4\sqrt{6}}{2}=-1\pm2\sqrt{6}$

$a=-1+2\sqrt{6}$

$x^2+(-1+2\sqrt{6}-7)x+18-4(-1+2\sqrt{6})=0$

$x^2+(-8+2\sqrt{6})x+22-8\sqrt{6}=0$

$x=\frac{8-2\sqrt{6}}{2}=4-\sqrt{6}$

$y=-x+7=-4+\sqrt{6}+7=3+\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, 半径 $\sqrt{\frac{a^2 + 2a + 26}{2}}$

(2) $A(3, 2)$, $B(-2, -3)$, $a = -1$

(3) $a = -1 + 2\sqrt{6}$ または $a = -1 - 2\sqrt{6}$

$a = -1 + 2\sqrt{6}$ のとき、接点 $(4 - \sqrt{6}, 3 + \sqrt{6})$