点A(4, 2)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(4, 2)から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の接点を(p, q)とします。

接線の方程式は、$px + qy = 10$と表せます。

この接線が点A(4, 2)を通るため、$4p + 2q = 10$が成り立ちます。

これを整理すると、$2p + q = 5$となり、$q = 5 - 2p$です。

また、点(p, q)は円 $x^2 + y^2 = 10$ 上にあるため、$p^2 + q^2 = 10$ が成り立ちます。

$q = 5 - 2p$を$p^2 + q^2 = 10$に代入すると、$p^2 + (5 - 2p)^2 = 10$が得られます。

これを展開して整理すると、$p^2 + 25 - 20p + 4p^2 = 10$となり、$5p^2 - 20p + 15 = 0$になります。

両辺を5で割ると、$p^2 - 4p + 3 = 0$ となります。

この二次方程式を解くと、$(p - 1)(p - 3) = 0$より、$p = 1, 3$です。

p = 1のとき、q = 5 - 2(1) = 3なので、接点は(1, 3)となり、接線の方程式は$x + 3y = 10$です。

p = 3のとき、q = 5 - 2(3) = -1なので、接点は(3, -1)となり、接線の方程式は$3x - y = 10$です。

3. 最終的な答え

接線の方程式は、$x + 3y = 10$と$3x - y = 10$です。

接点の座標は、(1, 3)と(3, -1)です。