円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ が直線 $y = 3x - 6$ から切り取る線分の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ が直線 $y = 3x - 6$ から切り取る線分の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円と直線の交点の座標を求めます。直線の式を円の式に代入して、$x$ の二次方程式を得ます。

$$(x-1)^2 + (3x-6-2)^2 = 5$$

$$(x-1)^2 + (3x-8)^2 = 5$$

$$x^2 - 2x + 1 + 9x^2 - 48x + 64 = 5$$

$$10x^2 - 50x + 60 = 0$$

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

$$(x-2)(x-3) = 0$$

したがって、$x = 2$ または $x = 3$ です。

$x = 2$ のとき、$y = 3(2) - 6 = 0$ です。

$x = 3$ のとき、$y = 3(3) - 6 = 3$ です。

交点は $(2, 0)$ と $(3, 3)$ です。

次に、2点間の距離の公式を用いて、線分の長さを求めます。

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

$$d = \sqrt{(3 - 2)^2 + (3 - 0)^2}$$

$$d = \sqrt{1^2 + 3^2}$$

$$d = \sqrt{1 + 9}$$

$$d = \sqrt{10}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{10}$