図のそれぞれの三角形において、点Oは三角形ABCの内心である。それぞれの図について、角$\alpha$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

図のそれぞれの三角形において、点Oは三角形ABCの内心である。それぞれの図について、角$\alpha$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Oが内心であることから、BOは$\angle B$の二等分線である。よって、$\angle OBC = \alpha$である。

$\triangle OBC$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

$\alpha + 30^\circ + \angle BOC = 180^\circ$

$\angle BOC = 150^\circ - \alpha$

$\triangle ABC$において、$\angle A = 70^\circ$, $\angle C = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ$である。内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$70^\circ + 2\alpha + 60^\circ = 180^\circ$

$2\alpha = 50^\circ$

$\alpha = 25^\circ$

(2) $\triangle ABC$において、$\angle A = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$である。

$\angle B = 2\alpha$

$\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 2\alpha = 90^\circ - 2\alpha$

$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} (90^\circ - 2\alpha) = 45^\circ - \alpha$

$\triangle OBC$において、

$\angle BOC = 180^\circ - \alpha - (45^\circ - \alpha) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

ここで、内心は$\angle BOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$を満たすので、

$\angle BOC = 90^\circ + \frac{1}{2}(90^\circ) = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$90^\circ + 2\alpha + 2(45^\circ - \alpha) = 180^\circ$

$90^\circ + 2\alpha + 90^\circ - 2\alpha = 180^\circ$

つまり$\alpha$は任意の値を取れる。しかし、$\alpha > 0$かつ $90^\circ - 2\alpha > 0$を満たす必要があるので、$0 < \alpha < 45^\circ$である。

$\angle B = 2\alpha$

$\angle C = 90^\circ - 2\alpha$

$\angle BOC = 135^\circ$なので、$\angle OCB = \frac{\angle C}{2} = 45^\circ - \alpha$とおくと、

$\angle OBC = \alpha$

$\angle BOC = 180^\circ - (\alpha + 45^\circ - \alpha) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\alpha$の値は一意に定まらない。

(3) $\triangle ABC$において、$\angle B = 25^\circ$、$\angle C = 45^\circ$である。

$\angle BAC = 180^\circ - 25^\circ - 45^\circ = 110^\circ$

$\angle OBC = \alpha$

$\angle OCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$

$\angle BOC = 180^\circ - \alpha - 22.5^\circ$

$\angle BOC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} = 90^\circ + \frac{110^\circ}{2} = 90^\circ + 55^\circ = 145^\circ$

$180^\circ - \alpha - 22.5^\circ = 145^\circ$

$157.5^\circ - \alpha = 145^\circ$

$\alpha = 12.5^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 25^\circ$

(2) $\alpha$の値は一意に定まらない

(3) $\alpha = 12.5^\circ$