与えられた点と直線の距離を求める問題です。5つの小問があります。

1. 問題の内容

与えられた点と直線の距離を求める問題です。5つの小問があります。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この公式と直線の式変形を用いて各小問を解きます。

(1) 点 (2, 8), 直線 4x + 3y - 12 = 0

公式に代入すると

$d = \frac{|4(2) + 3(8) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|8 + 24 - 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|20|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$

(2) 点 (-1, 2), 直線 y = 3x + 1

直線の式を $3x - y + 1 = 0$ と変形します。

公式に代入すると

$d = \frac{|3(-1) - 2 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 - 2 + 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$

(3) 点 (3, 2), 直線 5x - 12y = 1

直線の式を $5x - 12y - 1 = 0$ と変形します。

公式に代入すると

$d = \frac{|5(3) - 12(2) - 1|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|15 - 24 - 1|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-10|}{\sqrt{169}} = \frac{10}{13}$

(4) 点 (5, -2), 直線 y = 4

直線の式を $y - 4 = 0$ と変形します。つまり $0x + 1y - 4 = 0$ となります。

公式に代入すると

$d = \frac{|0(5) + 1(-2) - 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-2 - 4|}{\sqrt{1}} = \frac{|-6|}{1} = 6$

または、単にy座標の差の絶対値 $|-2 - 4| = |-6| = 6$ として計算できます。

(5) 点 (4, 3), 直線 x = -1

直線の式を $x + 1 = 0$ と変形します。つまり $1x + 0y + 1 = 0$ となります。

公式に代入すると

$d = \frac{|1(4) + 0(3) + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{1}} = \frac{|5|}{1} = 5$

または、単にx座標の差の絶対値 $|4 - (-1)| = |4 + 1| = 5$ として計算できます。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\frac{2\sqrt{10}}{5}$

(3) $\frac{10}{13}$

(4) 6

(5) 5