正方形ABCDにおいて、Aを通る直線を引き、B, Dからその直線に下ろした垂線の足をそれぞれB', D'とする。このとき、$BB' + DD' = B'D'$ を証明する。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、Aを通る直線を引き、B, Dからその直線に下ろした垂線の足をそれぞれB', D'とする。このとき、$BB' + DD' = B'D'$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、三角形AB'Bと三角形AD'Dに着目する。

* $\angle AB'B = 90^{\circ}$ (Bから引いた垂線)

* $\angle AD'D = 90^{\circ}$ (Dから引いた垂線)

* $AB = AD$ (正方形の辺)

次に、$\angle B'AB + \angle D'AD = 90^{\circ}$ を示す。

Aを通る直線なので、$\angle B'AB + \angle BAD + \angle D'AD = 180^{\circ}$となる。

$\angle BAD = 90^{\circ}$であるから、$\angle B'AB + \angle D'AD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

ここで、$\angle AB'B = 90^{\circ}$ なので $\angle AB'B$の直角三角形から$\angle B'AB + \angle ABB' = 90^{\circ}$である。

したがって、$\angle D'AD = \angle ABB'$となる。

以上のことから、三角形AB'Bと三角形AD'Dにおいて、

* $\angle AB'B = \angle AD'D = 90^{\circ}$

* $AB = AD$

* $\angle D'AD = \angle ABB'$

よって、三角形AB'Bと三角形AD'Dは合同である（直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい）。

したがって、$BB' = AD'$ かつ $AB' = DD'$ である。

最後に、$B'D' = AB' + AD'$ であることを利用する。

$B'D' = AB' + AD' = DD' + BB'$ となる。

したがって、$BB' + DD' = B'D'$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$BB' + DD' = B'D'$ が証明された。